表格积分法

终止于 $0$

求解 $\int (x^{2} + x) e^{x} d x$ 将上面的两个部分写成两行, 对第一行求导, 另一行积分, 直到第一行变为 $0$

$x^{2} + x$	$2 x + 1$	$2$	$0$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$

第一行第一列与第二行第二列相乘, 第一行第二列与第二行第三列相乘, 第一行第三列与第二行第四列相乘. 要注意的是, 这里的交叉相乘还需要带符号, 依次为正负正负正…以此类推. 最后, 将相乘结果相加, 整理即可得到最终的解

+ ((x^{2} + x) \cdot e^{x}) - ((2 x + 1) \cdot e^{x}) + (2 \cdot e^{x}) = (x^{2} - x + 1) \cdot e^{x} + C

求解 $\int e^{3 x} sin 2 x d x$

$e^{3 x}$	$3 e^{3 x}$	$9 e^{3 x}$
$sin 2 x$	$- \frac{cos 2 x}{2}$	$- \frac{sin 2 x}{4}$
于是有

\int e^{3 x} sin 2 x d x = e^{3 x} (- \frac{cos 2 x}{2}) - 3 e^{3 x} (- \frac{sin 2 x}{4}) + 9 (- \frac{1}{4}) \int e^{3 x} sin 2 x d x

即

\int e^{3 x} sin 2 x d x = \frac{1}{13} e^{3 x} (3 sin 2 x - 2 cos 2 x) + C