Imagery

成像 (imagery)

物 (object) 和 像 (image)

同心光束 (concentric beam): 各光线本身或其延长线交于同一点的光束 光具组 (optical system): 由若干反射面、折射面构成的光学系统 物点和像点: 若光具组使以$Q$为中心的入射同心光束转变为以$Q^{\prime }$为中心的同心光束, 则称$Q$为物点, $Q^{\prime }$为像点

• 实像: 出射光束是会聚的, 光线实际通过像点. 实像既可用眼睛观察, 也可用屏幕接收
• 虚像: 出射光束是发散的, 光线并不实际通过像点, 而仅是其反向延长线通过像点. 虚像只能用眼睛或仪器观察, 不能用屏幕接收
• 实物: 入射光束是发散的
• 虚物: 入射光束是会聚的. 虚物仅当光具组联用时才会出现.

物方 (object space) 和 像方 (image space)

• 物方: 物点所处的空间, 又称物空间, 包括所有实的和虚的物点, 是所有物点的集合, 因而不仅包括光具组前方的空间（实物）, 还包括光具组后方的空间（虚物）
• 像方: 像点所处的空间, 又称像空间, 包括所有实的和虚的像点, 是所有像点的集合, 因而不仅包括光具组后方的空间（实像）, 还包括光具组前方的空间（虚像）

成像

不论是实物、虚物、实像、虚像, 物方的折射率是光具组前方媒质的折射率, 像方的折射率是光具组后方媒质的折射率. 也就是说, 就算虚物在光具组后方, 也是按照光具组前方的折射率计算

根据光的可逆性原理, 一对物点、像点互换后, 光线沿反方向传播, 它们仍然是一对物、像点, 因此, 一对物、像点称为共轭点(conjugate points)

物像之间的等光程性

若$Q$点经光具组的反射、折射, 成像于点$Q^{\prime }$, 则$Q$、$Q^{\prime }$两点之间的各条光线具有相等的光程

对于虚物、虚像, 定义虚光程

$$(QP)=-{\int }_Q^{P}n\mathrm{d}l$$

严格成像

同心光束经光具组变换后, 若能严格保持同心性, 就称为严格成像. 能使任意点严格成像的光具组称为理想光具组. 真正的理想光具组只有平面反射镜

等光程面

若某一曲面的反射或折射能使从某一点发出的光线到达另一点时具有相等的光程, 则该曲面称为该两点间的等光程面. 只有等光程的反射、折射才能保证严格成像.

反射的等光程面有 旋转椭球面

$$QM+M{Q}^{\prime }=\text{const}$$

旋转抛物面: 平行光和同心光束相互转化 旋转双曲面

$$QM-M{Q}^{\prime }=\text{const}$$

折射的等光程面:
笛卡尔卵形面（四次曲面）

对于一个球体, 存在球面折射齐明点(aplanatic points)

$$QO=\frac{n^{\prime }}{n}r,Q^{\prime }O=\frac{n}{n^{\prime }}r$$

它们关于球面互为反演点, 且是一对共轭点, 对球面上任意一点$M$有

$$nQM-n^{\prime }M{Q}^{\prime }=0$$

共轴球面组傍轴成像

共轴球面光具组(coaxial spherical optical system): 由一系列球心在一条直线上的折射、反射面构成的光学系统. 简称共轴球面组. 球心的连线称为光轴(optic axis)

将参与成像的光线限制在光轴附近, 使球面能够近似成像, 称为傍轴(paraxial)成像

光在单个球面上的折射

成像公式

$$\frac{n^{\prime }}{s^{\prime }}+\frac{n}{s}=\frac{n^{\prime }-n}{r}$$

其中$n^{\prime },s^{\prime }$是像方折射率、像距；$n,s$是物方折射率、物距. $r$是球面的半径 符号规定:

• 实物、实像$s,s^{\prime }>0$
• 虚物、虚像$s,s^{\prime }<0$
• 球心在球面顶点之右$r>0$, 之左$r<0$

反射镜成像

在反射镜中, 像方在球面左侧

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=-\frac{2}{r}$$

焦距

轴上无穷远像点的共轭物点称为物方焦点或第一焦点、前焦点, 记为$F$. $F$到球面顶点的距离称为物方焦距(focal length) 或第一焦距、前焦距, 记为$f$ 令$s^{\prime }\to \infty$即可得到

$$f=s=\frac{nr}{n^{\prime }-n}$$

轴上无穷远物点的共轭像点称为像方焦点或第二焦点、后焦点, 记为$F^{\prime }$. $F^{\prime }$到球面顶点的距离称为像方焦距 或第二焦距、后焦距, 记为$f^{\prime }$

$$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }r}{n^{\prime }-n}$$

两个焦距的比例满足

$$\frac{f}{f^{\prime }}=\frac{n}{n^{\prime }}$$

这时候可以把成像公式写成

$$\frac{f^{\prime }}{s^{\prime }}+\frac{f}{s}=1$$

光焦度 (focal power)

$$p=\frac{n^{\prime }-n}{r}=\frac{n^{\prime }}{f^{\prime }}=\frac{n}{f}$$

其单位为屈光度(diopter), $\mathrm{D}({\mathrm{m}}^{-1})$

横向放大率

符号规定: 在光轴之上(正立)$y,y^{\prime }>0$; 在光轴之下(倒立)$y,y^{\prime }<0$ 横向放大率:

• 折射$V=\frac{y^{\prime }}{y}=-\frac{n{s}^{\prime }}{n^{\prime }s}$
• 反射$V=\frac{y^{\prime }}{y}=-\frac{s^{\prime }}{s}$

Lagrange-Helmholtz 不变量

$$ynu=y^{\prime }{n}^{\prime }{u}^{\prime }=\cdots$$

薄透镜

透镜(lens): 由两个折射球面构成的光具组, 球面间为透镜媒质 薄透镜(thin lens): 两个折射球面的间距远小于半径, 两顶点几乎重合, 该点称为光心(optical center) 凸透镜又称为会聚透镜、正透镜（焦距为正） 凹透镜又称为发散透镜、负透镜（焦距为负）

焦距公式

$$\frac{f^{\prime }}{s^{\prime }}+\frac{f}{s}=1$$

其中

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{f_1{f}_2}{f_1^{\prime }+f_2}=\frac{n}{\frac{n_L-n}{r_1}+\frac{n^{\prime }-n_L}{r_2}}\\ f^{\prime }& =\frac{f_1^{\prime }{f}_2^{\prime }}{f_1^{\prime }+f_2}=\frac{n^{\prime }}{\frac{n_L-n}{r_1}+\frac{n^{\prime }-n_L}{r_2}}\end{array}$$

同样有

$$\frac{f}{f^{\prime }}=\frac{n}{n^{\prime }}$$

若$n^{\prime }=n=1$, 则有磨镜者公式

$$f=f^{\prime }=\frac{1}{(n_L-1)\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)}$$

成像公式

Gauss 公式

$$\frac{f^{\prime }}{s^{\prime }}+\frac{f}{s}=1$$

Newton 公式

$$x{x}^{\prime }=f{f}^{\prime }$$

其中$x=s-f,x^{\prime }=s^{\prime }-f^{\prime }$ 几何直观

密接透镜组

$$\begin{array}{rl}P& =P_1+P_2\\ \frac{1}{f}& =\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}\end{array}$$

焦面 (focal plane)

物方焦面: 通过物方焦点且垂直于光轴的平面, 又称第一焦面、前焦面, 记为$F$. 物方焦面上的点成像于像方轴外无穷远处（与光轴成一定角度的平行光束） 像方焦面: 通过像方焦点且垂直于光轴的平面, 又称第二焦面、后焦面, 记为$F^{\prime }$. 物方轴外无穷远处的物点（与光轴成一定角度的平行光束）成像于像方焦面上.

副光轴(secondary optic axis): 通过光心的直线.
相应地将光具组的光轴称为主光轴(principle optic axis), 简称主轴

作图法

• 通过物方焦点的光线折射后平行于主轴
• 平行于主轴的光线折射后通过像方焦点
• 过光心的光线不发生折射

理想光具组理论

理想光具组

能将物方任意一个同心光束变换成像方一个同心光束的光具组称为理想光具组 理想光具组具有下列性质（共线变换）

1. 物方每个点对应于像方的一个点（共轭点）
2. 物方每条直线对应于像方的一条直线（共轭线）
3. 物方每个面对应于像方的一个面（共轭面）

基点和基面

焦点和焦面: 定义同前 主点(principle point) 和 主面(principle plane): 横向放大率等于$1$的一对共轭面. 属于物方的为物方主面, 记作$\mathrm{H}$, 其与主轴交点称为物方主点, 记作$H$, 属于像方的为像方主面, 记作${\mathrm{H}}^{\prime }$, 其与主轴交点称为像方主点, 记作$H^{\prime }$