Fourier Optics

Fourier 变换基础

见Fourier变换和光学中的Fourier变换

衍射系统和屏函数

凡是能使波前复振幅发生改变的物，统称为衍射屏 定义屏函数为衍射屏前后表面对应的复振幅之比

$$\tilde{t}(x,y)=\frac{{\tilde{U}}_2(x,y)}{{\tilde{U}}_1(x,y)}$$

有接收平面上的振幅分布

$$\begin{array}{c}\tilde{U}(x^{\prime },y^{\prime })=\frac{-i}{\lambda }{\iint }_{({\Sigma }_0)}\tilde{t}(x,y)\cdot {\tilde{U}}_1(x,y)\frac{e^{ikr}}{r}dxdy\\ \ne \frac{-i}{\lambda }{\iint }_{({\Sigma }_0)}{\tilde{U}}_1(x,y)\frac{e^{ikr}}{r}dxdy\end{array}$$

由于衍射屏函数的作用，改变了波前，从而改变了后场的分布，于是发生的衍射

屏函数的分类

振幅型：$\tilde{t}(x,y)=t(x,y)$，特别地对孔或者遮光屏而言

$$t(x,y)=\{\begin{array}{ll}1& \text{透光部分}\\ 0& \text{遮光部分}\end{array}$$

对于一个理想无限小半径的圆孔屏，它的屏函数可以通过delta函数表示

$$t(x,y)=\delta (x,y)$$

位相型：$\tilde{t}(x,y)=e^{\mathrm{i}\phi (x,y)}$

相因子判断法

通过相位的表达式$e^{\mathrm{i}\phi (x,y)}$，判断一束波的类型

平面波

为常数

发散球面波

$$\exp \left(\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2z}\right)$$

汇聚球面波

$$\exp \left(-\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2z}\right)$$

求解屏函数

考虑到透镜的磨镜者公式，有

$$\begin{array}{rl}{\phi }_L(x,y)& =-\frac{2\pi }{\lambda }\frac{n-1}{2}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})(x^2+y^2)\\ & =-k\frac{x^2+y^2}{2F}\end{array}$$

其中

$$F=\frac{1}{(n-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}$$

这是透镜屏函数

对于正入射平面波${\tilde{U}}_1(x,y)=A_1=\text{const}$ 有

$${\tilde{U}}_2(x,y)={\tilde{U}}_1(x,y){\tilde{t}}_L(x,y)=A_1{e}^{-ik\frac{x^2+y^2}{2F}}$$

这是会聚在透镜后距离$F$处的球面波，和几何光学一致

正弦光栅

空间频率

某一面内光场随空间位置的周期性变化

$$\tilde{U}(x,y)=A{e}^{ik\sin \theta x}=A{e}^{i{q}_{x}x}$$

有

• 时间周期$T⟺$空间周期$d$
• 时间频率$\nu =\frac{1}{T}⟺$空间频率$f=\frac{1}{d}$
• 时间圆频率$\omega =2\pi \nu ⟺$ 空间圆频率$q=2\pi f$

二维的情况

正弦光栅定义

就是透过率是空间的正弦函数的光栅

$$\tilde{t}\left(x,y\right)=t_0+t_1\cos \left(q_{x}x+q_{y}y+{\phi }_0\right)$$

正弦光栅的衍射图样

考虑平行光入射${\tilde{U}}_1{A}_1$

$$\begin{array}{rl}{\tilde{U}}_2(x,y)& ={\tilde{U}}_1(x,y)\tilde{t}(x,y)\\ & =A_1[t_0+t_1\cos (2\pi fx+{\phi }_0)]\\ & \begin{array}{rl}& =A_1{t}_0+A_1{t}_1\frac{e^{i(2\pi fx+{\phi }_0)}+e^{-i(2\pi fx+{\phi }_0)}}{2}\\ & ={\tilde{U}}_0(x,y)+{\tilde{U}}_{+1}(x,y)+{\tilde{U}}_{-1}(x,y)\end{array}\end{array}$$

由相因子判断出射光为三个不同方向的平面波，其中$\sin {\theta }_{\pm 1}=\pm f\lambda$

任意光栅的屏函数

利用Fourier展开把任意光栅的屏函数展开为正弦光栅的屏函数的叠加

$$\begin{array}{rl}\tilde{t}\left(x\right)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\tilde{t}}_n{e}^{i2\pi nfx}\\ & \\ \text{where}{\tilde{t}}_n& =\frac{1}{d}{\int }_{-d/2}^{d/2}\tilde{t}\left(x\right)e^{-i2\pi nfx}dx\end{array}$$

例子：黑白光栅

设光栅常数为$d$，缝宽为$a$

$$\begin{array}{c}t(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|x\right|<a/2\\ 0,& \left|x\right|>a/2\end{array}\\ t_0=\frac{1}{d}\underset{-a/2}{\overset{a/2}{\int }}dx=\frac{a}{d}\\ {\tilde{t}}_n=\frac{1}{d}{\int }_{-a/2}^{a/2}{e}^{-i2\pi nfx}dx=\frac{a}{d}\frac{\sin \pi f_{n}a}{\pi f_{n}a}\\ =\frac{a}{d}\frac{\sin n\pi fa}{n\pi fa}=\frac{a}{d}\frac{\sin (n\pi a/d)}{n\pi a/d}\end{array}$$

对于正入射平行光${\tilde{U}}_1(x)=A_1$

$$\begin{array}{rl}{\tilde{U}}_2(x)& ={\tilde{U}}_1(x)\tilde{t}\left(x\right)=A_1\tilde{t}\left(x\right)\\ & =A_1{t}_0+A_1\sum _{n\ne 0}{\tilde{t}}_n{e}^{i2\pi nfx}\end{array}$$

在$n$级平面波衍射方向

$$\begin{array}{rl}& \sin {\theta }_n=nf\lambda =\frac{n\lambda }{d}\\ & I_n\propto {\left|{\tilde{t}}_n\right|}^2={\left(\frac{a}{d}\right)}^2\boxed{{\left(\frac{\sin a_n}{a_n}\right)}^2}\\ & a_n=\pi a\sin {\theta }_n/\lambda \end{array}$$