Mean Free Path

平均自由程

有效碰撞截面

弹性钢球分子

• 瞄准距离$b$: 入射方向和靶子分子之间的垂直具体
• 同种分子碰撞截面: $\sigma =\pi d^2$, 其中$d$为分子直径
• 不同种分子的碰撞截面: $\sigma =\pi {\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}^2$

实际气体分子

• 有效分子直径: 偏折角度等于$0$的最小瞄准距离$b_0=d$称为分子的有效直径
• 有效碰撞截面: $\sigma =\pi d^2$

影响有效分子直径(有效碰撞截面)的因素

• 入射分子的初始动量越大, 有效分子直径越小
• 而分子的平均动能和气体温度成正比
• 但是实验表明, 气体分子的有效碰撞截面随温度改变产生的变化较小
• 故对任一确定气体, 可将分子的有效直径近似为一个常数

平均自由程

碰撞频率和自由程

• 碰撞频率$Z$: 一个分子在单位时间内与其他分子发生碰撞的次数
• 自由程$\lambda$: 一个分子在连续两次和其他分子发生碰撞之间经过的路程 引入平均自由飞行时间$\bar{\tau }=1/\bar{Z}$, 于是有

$$\bar{\lambda }=\bar{v}\cdot \bar{\tau }=\bar{v}/\bar{Z}$$

运动坐标系中的两体碰撞

可以将两个分子发生碰撞这个两体问题转化为一个分子（如分子$2$）参考系中的单体问题, 此时有折合质量

$$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$$

和相对速度$\mathbf{u}={\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2$

在处于平衡态的单元系中, 有$m_1=m_2=m$且${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$满足Maxwell速度分布律 , 于是

• 折合质量$\mu =m/2$
• 相对速度$\mathbf{u}$也遵循Maxwell速度分布
• 由此可以推导出平均相对速率 $\bar{u}=\sqrt{2}\bar{v}$

平均碰撞频率和平均自由程

由上一节, 我们得到一个等价的碰撞模型: 一个质量为$\mu$的分子以平均的相对速率$\bar{u}$在有静止分子组成的气体中运动, 并与之发生碰撞

在$\Delta t$时间内, 入射分子发生碰撞的数目为

$$n\Delta V=n\sigma \bar{u}\Delta t=\bar{Z}\Delta t$$

平均碰撞频率

$$\bar{Z}=n\sigma \bar{u}=\sqrt{2}n\sigma \bar{v}$$

于是有平均自由程

$$\bar{\lambda }=\bar{v}/\bar{Z}=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma n}$$

又由理想气体状态方程, 有

$$\boxed{\bar{\lambda }=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi n{d}^2}=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi p{d}^2}}$$

混合气体的平均自由程

	A 类分子	B 类分子
与A碰撞的平均频率	${\bar{Z}}_{AA}=n_A\pi d_A^2{\bar{u}}_{AA}$	${\bar{Z}}_{BA}=n_A\pi d_{AB}^2{\bar{u}}_{AB}$
与B碰撞的平均频率	${\bar{Z}}_{BA}=n_B\pi d_{AB}^2{\bar{u}}_{AB}$	${\bar{Z}}_{BB}=n_B\pi d_B^2{\bar{u}}_{BB}$
平均自由程	${\bar{\lambda }}_A={\bar{v}}_A/({\bar{Z}}_{AA}+{\bar{Z}}_{AB})$	${\bar{\lambda }}_B={\bar{v}}_B/({\bar{Z}}_{BA}+{\bar{Z}}_{BB})$
则混合气体的平均自由程则是这两种分子的算术平均值

$$\bar{\lambda }=\frac{n_A{\bar{\lambda }}_A+n_B{\bar{\lambda }}_B}{n_A+n_B}$$

气体按自由程的分布

• 设想在某一个时刻的一组分子有$N$个
• 在后面的运动过程中, 任一分子和其他分子发生碰撞, 则将其剔除出去, 该组分子就减少一个
• 设这组分子通过路径$\lambda$后还剩下$N(\lambda )$个, 而在下一段路程$\mathrm{d}\lambda$中, 分子数又改变了$\mathrm{d}N(\lambda )$
• $N(\lambda )$即为通过路程$\lambda$后还未发生碰撞的粒子数目, 即自由程大于$\lambda$的分子数目
• 在路程$\lambda \sim \lambda +\mathrm{d}\lambda$ 之间, 由于平均而言每个分子走过$\bar{\lambda }$距离会发生一次碰撞, 所以在这段路程中每个分子发生碰撞的概率为$\frac{\mathrm{d}\lambda }{\bar{\lambda }}$ 由此可以推出

$$-\mathrm{d}N(\lambda )=N(\lambda )\frac{\mathrm{d}\lambda }{\bar{\lambda }}⟹N(\lambda )=C{e}^{-\lambda /\bar{\lambda }}=N{e}^{-\lambda /\bar{\lambda }}$$

于是

$$-\frac{\mathrm{d}N(\lambda )}{N}=\frac{1}{\bar{\lambda }}{e}^{-\lambda /\bar{\lambda }}\mathrm{d}\lambda =f(\lambda )\mathrm{d}\lambda ⟹\boxed{f(\lambda )=\frac{1}{\bar{\lambda }}{e}^{-\lambda /\bar{\lambda }}}$$