Transport Process of Gases

流和输运

• 系统从非平衡态趋向平衡态的变化过程为输运过程
• 非平衡态中存在宏观物理量（能量、动量、质量等）的不均匀，从而导致相应物理量的传递
• 物理量的传递形成相应的流
• 在孤立系统中，这些物理量的传递将使系统各区域的差异逐渐消失，从而促使热力学系统从非平衡态向平衡态过渡
• 对于气体而言，气体分子的碰撞决定着输运过程的性质

分类

热传导

系统各区域温度不均匀而使能量（热量） 从高温区域传递到低温区域的现象

扩散

系统各区域浓度不均匀而使质量（粒子） 从浓度高的区域传递到低浓度区域的现象

黏性

系统各区域粒子定向速度不均匀而使动量从动量高的区域传递到低动量区域的现象

输运过程的宏观规律

黏性现象的宏观规律

稳恒层流中的黏性现象

当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截面，相邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用力；力的作用结果总是使流速较慢的那部分加速，而使流速较快的那部分减速. 这种相互作用力称为内摩擦力或黏性

Newton 黏性定律

设气体平行于$xOy$平面沿$y$轴正方向流动，流速$u$是$z$的函数. 如在$z=z_0$处垂直于$z$轴取一截面$\mathrm{d}S$将气体分成上下两部分. 下层气体将通过该截面施与上层气体一平行于$y$轴的黏性力

$$F(z_0)=-\eta {\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}\right)}_{z_0}\mathrm{d}S$$

其中$\eta$为气体的黏度，单位为$\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$

单位时间内通过$\mathrm{d}S$面元由下层气体传递给上册气体的动量为

$$\mathrm{d}K(z)=F(z)\mathrm{d}t=-\eta \left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}\right)\mathrm{d}S\mathrm{d}t$$

负号表明动量传递的方向与速度梯度的方向相反，即动量总是沿着速度减小的方向传递

流体黏性现象的微观本质是分子定向运动动量的迁移，而这种迁移是通过气体分子的无规则热运动和碰撞来实现的

黏度的测量：旋转黏度计

• 外筒：半径为$R+\delta (\delta \ll R)$, 恒定角速度$\omega$转动
• 内筒：半径$R$,有扭丝悬吊，两筒长度均为$L$
• 扭力距$M$可以由扭丝上的反光镜$C$的偏转角度测定
• 夹层流体的速度梯度可以近似为$\omega R/\delta$
• 待测流体的黏度$\eta =\frac{M\delta }{2\pi R^{3}L\omega }$
• 气体黏度随温度升高而增大

热传导现象的宏观解释

当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从高温处传递到低温处，这种现象称为热传导现象

Fourier 定律

考虑气体层之间的热传导，设气层平行于$xOy$平面

• 各气层间无相对运动
• 各气层的分子数密度可以不相同， 但气层间无宏观粒子流
• 各气层的温度$T$是$z$的函数 如果在$z=z_0$处垂直于$z$轴取一截面$\mathrm{d}S$将气体分成上下两部分，在$\mathrm{d}t$时间间隔内下层气体将通过该截面项上层气体传递热量

$$\mathrm{d}Q=-\kappa {\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right)}_{z_0}\mathrm{d}S\mathrm{d}t$$

其中$\kappa$为导热系数，单位为$\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ 定义热流量

$$q=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}S\mathrm{d}t}=-\kappa {\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right)}_{z_0}$$

负号表示热量沿温度减小的方向传递

气体热传导现象的微观本质是分子热运动能量的定向迁移，而这 种迁移是通过气体分子的无规则热运动和碰撞来实现的

扩散现象的宏观规律

系统中各部分的密度不均匀时，就有质量从高密度处传递到低密度处，这种现象称为扩散现象

压强扩散

扩散过程中系统的压强分布不均匀 密度不均匀$\to$数密度不均匀$\to$压强不均匀$\to$宏观气流

如一种气体在真空中的扩散

纯扩散

扩散过程中系统的压强、温度分布均匀且恒定， 无宏观气流 扩散是由于分子热运动导致的

如种理想气体在某定容容器中之间的隔板被移除后的扩散

Fick 定律

左侧$\alpha$气体，右侧$\beta$气体，$z$轴从左侧延伸到右侧 在$\mathrm{d}t$时间间隔内通过$\mathrm{d}S$面元从左侧扩散到右侧的$\alpha$分子数

$$\mathrm{d}{N}_{\alpha }=-D_{\alpha \beta }\left(\frac{\mathrm{d}{n}_{\alpha }}{\mathrm{d}z}\right)\mathrm{d}S\mathrm{d}t$$

其中互扩散系数$D_{\alpha \beta }$, 单位为${\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$ 负号表示扩散总是沿着浓度降低的方向进行

$\alpha$分子粒子流

$$J_{\alpha }=-D_{\alpha \beta }\left(\frac{\mathrm{d}{n}_{\alpha }}{\mathrm{d}z}\right)$$

$\beta$分子粒子流

$$J_{\beta }=-D_{\beta \alpha }\left(\frac{\mathrm{d}{n}_{\beta }}{\mathrm{d}z}\right)=-J_{\alpha }$$

因为

$$D_{\alpha \beta }=D_{\beta \alpha }$$

输运过程的微观解释

基本出发点

气体密度要求

$$d\ll \bar{\lambda }\ll (\Delta V{)}^{1/3}$$

• 气体须足够稀薄，平均自由程必须远大于有效直径
• 气体不能太稀薄：从非平衡态气体中取出任意一个小体积元，从宏观上看它很小，但从微观上看它仍然很大

局部平衡假设

任一宏观小微观大的体积元$\Delta V$，仍可用确定的宏观状态参量来描述它的状态；

整个系统可用在空间和时间上都变化的状态参量来确定它的状态

系统中宏观参量的变化非常缓慢，它们的二阶导数可忽略

初级气体分子动理论

输运现象是因某个宏观参量分布不均匀引起的相应物理量$W$的迁移，形成某种“流”$J$

物理量$W$的迁移是通过分子的热运动来输运的；而输运过程中物理量的交换，则是通过碰撞来完成的

物理量的输运

在$\mathrm{d}t$时间内沿$+z$方向净流过面元$\mathrm{d}S$的某物理量为

$$\mathrm{d}W=\mathrm{d}S\mathrm{d}t{\left(\Gamma \times \boxed{分子携带的物理量}\right)}_A-\mathrm{d}S\mathrm{d}T{\left(\Gamma \times \boxed{分子携带的物理量}\right)}_B$$

其中$\Gamma$是气体分子的碰壁数，由Maxwell 速率分布 给出

$$\Gamma =n{\int }_0^{\infty }\mathrm{d}{v}_x{f}_M(v_x)v_x=n\bar{v}/4$$

或者认为

$$\Gamma =n\bar{v}/6$$

上述两个情形都是基于气体分子的动理论得出的, 但是它们的推导过程和假设条件略有不同:

• $\Gamma =n\bar{v}/4$ 假设气体分子在各个方向上的运动是均匀的,即每个方向上的速度分量相等
• $\Gamma =n\bar{v}/6$ 假设气体分子在三个坐标轴方向上的速度分量是相互独立的. 可以把分子等分为$6$队，分别沿平行于$x,y,z$轴的正负方向运动；只有沿着$+z$方向运动的分子可以通过截面$\mathrm{d}S$ 由此定义物理量流度

$$J_{A\to B}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{4}[(nq\bar{v}{)}_A-(nq\bar{v}){)}_B]\mathrm{d}S$$

这里当$q=m$时，$J$就代表质量流；$q=m\bar{v}$时，$J$就代表动量流 设粒子越过$\mathrm{d}S$后在$\alpha \bar{\lambda }$的路径中被同化，那么

$$\begin{array}{rl}{J}_{A\to B}& =\frac{1}{4}[(nq\bar{v}{)}_{z=z_0-\alpha \bar{\lambda }}-(nq\bar{v}){)}_{z=z_0+\alpha \bar{\lambda }}]\mathrm{d}S\\ & =-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(nq\bar{v}){|}_{z=z_0}\alpha \bar{\lambda }\mathrm{d}S\end{array}$$

黏性现象的微观解释

设$q=m\mathbf{u}$, ($\mathbf{u}$是定向运动速度，$\bar{v}$是热运动速度)

$$J_p=-\frac{\alpha }{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(nm\bar{v}\mathbf{u}){|}_{z=z_0}\bar{\lambda }\mathrm{d}S=-\frac{\alpha }{2}\rho \bar{v}\bar{\lambda }\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}S$$

代入$\bar{\lambda }$的公式 ，可以得到粘滞系数$\eta$的关系式

$$\eta =\frac{\alpha }{2}\rho \bar{v}\frac{1}{\sqrt{2}\sigma n}=\frac{\alpha }{2\sqrt{2}}\frac{m\bar{v}}{\sigma }$$

再代入$\bar{v}=\sqrt{(8k_{B}T)/(\pi m)}$，有

$$\eta =\frac{\alpha }{\sigma }\sqrt{\frac{m{k}_{B}T}{\pi }}$$

热传导现象的微观解释

设$q=\overline{ϵ}=c_{V}mT$, 这里$c_V$是定体比热容

$$h=J_E=-\frac{\alpha }{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(n{c}_{V}mT\bar{v}){|}_{z=z_0}\bar{\lambda }\mathrm{d}S$$

带入$\bar{v},\bar{\lambda }$， 若假设$n$处处相等

$$\kappa =-\frac{3}{4\sqrt{2}}\frac{\alpha c_{V}m\bar{v}}{\sigma }=-\frac{3}{2}\frac{\alpha c_V}{\sigma }\sqrt{\frac{m{k}_{B}T}{\pi }}$$

上面的推导比较粗糙，常数因子并不准确. 例如对于近似理想气体的系统，考虑它的热传导过程时，更精确的假定是压强处处相等. 此时$p=n{K}_{B}T=\text{const}$，在计算过程中将得到不同的常数因子.

扩散现象的微观解释

设$q=m$假设系统温度（或$\bar{v}$）处处相同

$$J_M=-\frac{\alpha }{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(nm\bar{v}){|}_{z=z_0}\bar{\lambda }\mathrm{d}S=-\frac{\alpha }{2}\bar{v}\bar{\lambda }\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}z}\mathrm{d}S$$

即为Fick 定律，带入$\bar{b},\bar{\lambda }$, 有

$$D=\alpha \sqrt{\frac{k_{B}T}{m\pi }}\frac{1}{n\sigma }=\alpha \frac{(k_{B}T{)}^{3/2}}{(m\pi {)}^{1/2}}\frac{1}{p\sigma }$$

低压下气体的输运现象

杜瓦瓶原理：低压下气体导热系数随着压强的降低而减小，随系统线度的减小而减弱