条件极值
设为开集,是可微函数,是映射. 记
则在上的极值称为条件极值,方程称为约束条件
如果对于任意,矩阵的秩均为,则称上的点满足个独立的约束条件. 此时利用隐映射定理,知是中维隐式曲面,且在处的法空间由张成,其中是的第个分量(因为实际上表示了的一个等值面,故的切平面必然和的每一个分量的梯度垂直),特别地,如果为的极值点,则必为在处的法向量.
事实上,设是上的可微函数曲线,,则是的极值点,从而是驻点
注意到为在处的切向量,由的任意性得到为在处的法向量,因此存在使得
其中称为Lagrange乘数
Lagrange乘数法
设如上述定义,为的条件极值点. 如果,则存在使得
在实际应用中,上式常被解释为,如果为极值点,则为辅助函数
的驻点