极值定义

的某邻域内有定义, 若对于任何点都有

则点极大值点, 同理可定义极小值点

极值必要条件

若函数在点存在偏导数, 且在存在极值, 则有

反之, 若函数在满足上述条件, 则称稳定点, 稳定点不一定为极值点

极值充要条件

定义Hesse矩阵

则对于的一个驻点, 若正定矩阵时, 取得极小值;若为负定矩阵, 则取得极大值;若为不定矩阵, 则不取极值. 如果Hesse矩阵是半正定/负定的, 则需要讨论更高阶的偏导数

反过来, 如果的极小(大)值点, 则为半正(负)定矩阵