Extremum of Multivariable Functions

极值定义

$f$在$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$内有定义，若对于任何点$P(x,y)\in U(P_0)$都有

$$f(P)\le f(P_0)$$

则点$P_0$为$f$的极大值点，同理可定义极小值点

极值必要条件

若函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$存在偏导数，且在$P_0$存在极值，则有

$$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$$

反之，若函数在$P_0$满足上述条件，则称$P_0$为$f$的稳定点，稳定点不一定为极值点

极值充要条件

定义Hesse矩阵

$$H_f(P_0)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}(P_0)& f_{xy}(P_0)\\ f_{yx}(P_0)& f_{yy}(P_0)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right)}_{P_0}$$

则对于$f$的一个驻点$P_0$，若$H_f(P_0)$为正定矩阵时，$f$在$P_0$取得极小值；若为负定矩阵，则$f$在$P_0$取得极大值；若为不定矩阵，则$f$在$P_0$不取极值. 如果Hesse矩阵是半正定/负定的，则需要讨论更高阶的偏导数

反过来，如果$P_0$为$f$的极小（大）值点，则$H_f(P_0)$为半正（负）定矩阵