映射的微分
设为开集,向量值函数写成分量形式为
设,如果存在使得对于附近的点有
则称在处可微,且线性映射
称为在处的微分
可微 可导
如果在处可微分,则其分量在处存在方向导数,并且有
Jacobian矩阵
在上面的情况中,还可以定义
为的Jacobian矩阵,当时,, 即为的梯度
设D⊂Rn为开集,向量值函数f:D→Rm写成分量形式为
f(x1,…,fn)=(f1(x1,…,xn),…,fm(x1,…,xn))设x0=(x10,…,xn0)∈D,如果存在A=(aij)m×n使得对于x0附近的点x有
∥f(x)−[f(x0)+A⋅(x−x0)]∥=o(∥x−x0∥),(x→x0)则称f在x0处可微,且线性映射
df(x0):Rn→Rmv→Av称为f在x0处的微分
可微 ⟹可导
如果f:D→Rm在x0处可微分,则其分量fi(1≤i≤m)在x0处存在方向导数,并且有A=(∂xj∂fi(x0))m×n
在上面的情况中,还可以定义
Jf=(∂xj∂fi)m×n为f的Jacobian矩阵,当m=1时,Jf=∇f, 即为f的梯度