Differential of Mappings

映射的微分

设$D\subset {\mathbb{R}}^n$为开集, 向量值函数$f:D\to {\mathbb{R}}^m$写成分量形式为

$$f(x_1,\dots ,f_n)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n))$$

设$x^0=(x_1^0,\dots ,x_n^0)\in D$, 如果存在$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$使得对于$x^0$附近的点$x$有

$$\Vert f(x)-\left[f(x^0)+A\cdot (x-x^0)\right]\Vert =o(\Vert x-x^0\Vert ),(x\to x^0)$$

则称$f$在$x^0$处可微, 且线性映射

$$\begin{array}{r}\mathrm{d}f(x^0):{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m\\ \mathbf{v}\to A\mathbf{v}\end{array}$$

称为$f$在$x^0$处的微分

可微 $⟹$可导

如果$f:D\to {\mathbb{R}}^m$在$x^0$处可微分, 则其分量$f_i(1\le i\le m)$在$x^0$处存在方向导数, 并且有$A={\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x^0)\right)}_{m\times n}$

Jacobian矩阵

在上面的情况中, 还可以定义

$$Jf={\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)}_{m\times n}$$

为$f$的Jacobian矩阵, 当$m=1$时, $Jf=\nabla f$, 即为$f$的梯度

全微分

$$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i=Jf\cdot (\mathrm{d}{x}_1,\dots ,\mathrm{d}{x}_n{)}^t$$