定义

设 $ϕ : V \to W$ . 如果对 $\forall α, β \in F, u, v \in V$ 都有 $ϕ (α u + β v) = α ϕ (u) + βϕ (v)$ , 则称 $ϕ$ 是从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射

$ϕ$ 是单射当且仅当 $ker (ϕ) = {0_{V}}$

设 $V = F^{n}, W = F^{m}$ , 则 $ϕ : V \to W$ 是线性映射当且仅当存在 $A \in F^{m \times n}$ 使得

\forall x \in V, ϕ (x) = A x

运算

令 $Hom (V, W)$ 是从 $V$ 到 $W$ 的所有线性映射的集合. 它是 $Map (V, W)$ 的子集.

可以直接验证, 对任意的 $α, β \in F, ϕ, ψ \in Hom (V, W)$ , 有 $α ϕ + β ψ \in Hom (V, W)$ . 故 $Hom (V, W)$ 是线性空间

同样, 设 $ϕ \in Hom (U, V), ψ \in Hom (V, W)$ , 则有 $ψ \circ ϕ \in Hom (U, W)$

一个线性映射 $ϕ : V \to W$ 是单射当且仅当 $ker (ϕ) = {0}$ 一个线性映射 $ϕ : V \to W$ 是满射当且仅当 $im (ϕ) = W$ 如果 $dim (V) = dim (W)$ , 则 $ϕ$ 是单射当且仅当 $ϕ$ 是满射

设 $ϕ : V \to W$ 是线性映射, 则

V / ker ϕ ≅ im ϕ

其中 $V / ker ϕ$ 表示一个商空间, $≅$ 代表线性同构. 这个式子两边取维数, 就有

dim (ker ϕ) + dim (im ϕ) = dim V

这被称为对偶定理, 或者Rank-Nullity定理