定义
设. 如果对都有, 则称是从到的一个线性映射
是单射当且仅当
设, 则是线性映射当且仅当存在使得
运算
令是从到的所有线性映射的集合. 它是的子集.
可以直接验证,对任意的, 有. 故是线性空间
同样,设,则有
性质
一个线性映射是单射当且仅当 一个线性映射是满射当且仅当 如果,则是单射当且仅当是满射
线性映射基本定理
设是线性映射,则
其中表示一个商空间,代表线性同构. 这个式子两边取维数,就有
这被称为对偶定理,或者Rank-Nullity定理
设ϕ:V→W. 如果对∀α,β∈F,u,v∈V都有ϕ(αu+βv)=αϕ(u)+βϕ(v), 则称ϕ是从V到W的一个线性映射
ϕ是单射当且仅当ker(ϕ)={0V}
设V=Fn,W=Fm, 则ϕ:V→W是线性映射当且仅当存在A∈Fm×n使得
∀x∈V,ϕ(x)=Ax令Hom(V,W)是从V到W的所有线性映射的集合. 它是Map(V,W)的子集.
可以直接验证,对任意的α,β∈F,ϕ,ψ∈Hom(V,W), 有αϕ+βψ∈Hom(V,W). 故Hom(V,W)是线性空间
同样,设ϕ∈Hom(U,V),ψ∈Hom(V,W),则有ψ∘ϕ∈Hom(U,W)
一个线性映射ϕ:V→W是单射当且仅当ker(ϕ)={0} 一个线性映射ϕ:V→W是满射当且仅当im(ϕ)=W 如果dim(V)=dim(W),则ϕ是单射当且仅当ϕ是满射
设ϕ:V→W是线性映射,则
V/kerϕ≅imϕ其中V/kerϕ表示一个商空间,≅代表线性同构. 这个式子两边取维数,就有
dim(kerϕ)+dim(imϕ)=dimV这被称为对偶定理,或者Rank-Nullity定理