Dual Space

对偶空间

设$V=F^n$, 线性空间$\mathrm{Hom}(V,F)$称为$V$的对偶空间，记为$V^{\ast }$. 换言之，$V^{\ast }$是$V$上所有线性函数 的集合，其中的加法和数乘由$\mathrm{Map}(V,F)$给出.

对偶基

设${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$是$V$的一组基，则在$V^{\ast }$中存在唯一的一组基${\mathbf{e}}_1^{\ast },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\ast }$满足${\mathbf{e}}_i^{\ast }({\mathbf{e}}_j)={\delta }_{i,j},\forall i,j\in [n]$. 特别地，$\dim (V^{\ast })=n$. 其中${\delta }_{i,j}$为Kronecker Delta 函数

称${\mathbf{e}}_1^{\ast },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\ast }$为${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$的对偶基

这里对$\forall \mathbf{v}\in V$, ${\mathbf{e}}_i^{\ast }(\mathbf{v})$就是取$\mathbf{v}$在基底${\mathbf{e}}_i$上的坐标，由此我们可以知道对偶空间和原空间是一一对应的

我们可以把${\mathbf{e}}_i^{\ast }(\mathbf{v})$ 看做内积

对偶的对偶

下列映射

$$\begin{array}{rl}\varphi :V& \to V^{\ast \ast }\\ \mathbf{v}& \to {ϵ}_{\mathbf{v}}\end{array}$$

是线性同构 , 其中

$$\begin{array}{rl}{ϵ}_{\mathbf{v}}:V^{\ast }& \to F\\ f& \to f(\mathbf{v})\end{array}$$

这个线性同构$\varphi$的定义和基底无关，此时我们说$V$和$V^{\ast \ast }$自然同构

向量和映射的统一

对偶空间中的线性映射和原空间中的向量一样多，说明两者地位相同. 映射可以作用于向量，向量也应该可以作用于映射，这实际上就是把向量看做成了映射的映射

对偶映射

见对偶映射