对偶空间

, 线性空间称为对偶空间, 记为. 换言之, 上所有线性函数 的集合, 其中的加法和数乘由给出.

对偶基

的一组基, 则在中存在唯一的一组基满足. 特别地, . 其中Kronecker Delta 函数

对偶基

这里对, 就是取在基底上的坐标, 由此我们可以知道对偶空间和原空间是一一对应的

我们可以把 看做内积

对偶的对偶

下列映射

线性同构 , 其中

这个线性同构的定义和基底无关, 此时我们说自然同构

向量和映射的统一

对偶空间中的线性映射和原空间中的向量一样多, 说明两者地位相同. 映射可以作用于向量, 向量也应该可以作用于映射, 这实际上就是把向量看做成了映射的映射

对偶映射

对偶映射