Matrix Representation of Linear Map

线性映射的矩阵表示

线性映射下的矩阵

设$F$是任意域, $V$和$W$是$F$上的线性空间, ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$是$V$的一组基, ${\mathbf{\epsilon }}_1,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n$是$W$的一组基

设$\varphi \in \mathrm{Hom}(V,W),{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k\in V,M\in F^{k\times \ell }$. 定义

$$\varphi ({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k):=(\varphi ({\mathbf{v}}_1),\dots ,\varphi ({\mathbf{v}}_k))$$

则

$$\varphi (({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)M)=(\varphi ({\mathbf{v}}_1),\dots ,\varphi ({\mathbf{v}}_k))M$$

于是, 对${\mathbf{e}}_j$进行分解

$$\varphi ({\mathbf{e}}_j)=a_{1,j}{\mathbf{\epsilon }}_1+\cdots +a_{m,j}{\mathbf{\epsilon }}_m$$

其中$j=1,2,\dots ,n$. 称

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right)$$

是$\varphi$在基底${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$和${\mathbf{\epsilon }}_1,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_m$下的矩阵表示. 当$V$和$W$的基底选定后$\varphi$的矩阵是唯一的, 我们有

$$\varphi ({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n)=({\mathbf{\epsilon }}_1,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n)A$$

设$\mathbf{x}=x_1{\mathbf{e}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{e}}_n,\varphi (\mathbf{x})=y_1{\mathbf{\epsilon }}_1+\cdots +y_m{\mathbf{ϵ}}_m$则

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

Note

设$V=F^n,W=F^m,{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$和${\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_m$都是标准基, 则$\varphi$的矩阵表示为

$$(\varphi ({\mathbf{e}}_1),\dots ,\varphi ({\mathbf{e}}_n))$$

线性映射在不同基底下的矩阵

设$\varphi \in \mathrm{Hom}(V,W)$. 再设${\mathbf{e}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }$是$V$的另一组基, ${\mathbf{ϵ}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{ϵ}}_m^{\prime }$是$W$的另一组基, 且

$$({\mathbf{e}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime })=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n)P,({\mathbf{ϵ}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{ϵ}}_m^{\prime })=({\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_m)Q$$

其中$P\in {\mathrm{GL}}_n(F),Q\in {\mathrm{GL}}_m(F)$. 如果$\varphi$在${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n;{\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_m$下的矩阵是$A$, 则$\varphi$在${\mathbf{e}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime };{\mathbf{ϵ}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{ϵ}}_m^{\prime }$下的矩阵为$Q^{-1}AP$

Note

上述结论说明线性映射在不同基底下的矩阵有相同的秩. 设$B\in F^{m\times n}$, 则$B$是$\varphi$在$V$和$W$某组基底下的矩阵当且仅当$A{\sim }_{e}B$, 即$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)$

因此, 我们可以用表示矩阵的秩来定义线性映射$\varphi$的秩, 记为$\mathrm{rank}(\varphi )=\mathrm{rank}(A)$. 并且, 由打洞引理, 存在一组基底使得$\varphi$的矩阵为

$$M={\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)}_{m\times n}$$

其中$r=\mathrm{rank}(M)=\mathrm{rank}(\varphi )=\dim (\mathrm{im}(\varphi ))$

Tip

1. $\varphi$是单射当且仅当$\mathrm{rank}(\varphi )=\dim (V)$, 即$\mathrm{rank}(A)=n$
2. $\varphi$是满射当且仅当$\mathrm{rank}(\varphi )=\dim (W)$, 即$\mathrm{rank}(A)=m$
3. $\varphi$是双射当且仅当$A$是可逆方阵

线性映射的复合

在选定的基底下, 设$A=A_{\varphi },B=A_{\psi }$, 则$\psi \circ \varphi$的矩阵表示是$BA$

线性同构

设

$$\begin{array}{rl}\Phi :\mathrm{Hom}(V,W)& \to F^{m\times n}\\ \varphi & \to A_{\varphi }\end{array}$$

则$\Phi$是线性同构

由此可知$\dim (\mathrm{Hom}(V,W))=mn$

对偶映射

设$\varphi \in \mathrm{Hom}(V,W)$, 则

$$\begin{array}{rl}{\varphi }^{\ast }:W^{\ast }& \to V^{\ast }\\ f& \to f\circ \varphi \end{array}$$

是线性映射. 且若$\varphi$在某两个基底下的矩阵为$A$, 则对偶映射${\varphi }^{\ast }$在这两组基底的对偶基下的矩阵是$A^t$

Note

由此可推出, $\varphi$和${\varphi }^{\ast }$的秩相等