送分题
- 坐标变换
- 对称矩阵的类型
- 二次型标准型
- 线性算子的矩阵表示
- 计算最小多项式
秩不等式
把映射转换为矩阵
求逆矩阵的时候不能使用初等列变换
参考题目
坐标变换
设e1,e2,e3是R3的标准基, u1=e1−e2,u2=e1+e2,u3=e3
- 计算P使得(u1,u2,u3)=(e1,e2,e3)P
- 证明u1,u2,u3是R3的一组基
- 计算v=111在u1,u2,u3下的坐标表示
- 直接写出P=1−10110001
- 因为P可逆, 所以u1,u2,u3是R3的一组基
- 可以直接代入
v=e1+e2+e3=2u1+u2+2u2−u1+u3=u2+u3
于是坐标为011
或者利用坐标变换抽象上述过程
(u1,u2,u3)⟹(u1,u2,u3)P−1(u1,u2,u3)y1y2y3⟹(u1,u2,u3)y1y2y3⟹y1y2y3=(e1,e2,e3)P=(e1,e2,e3);=(e1,e2,e3)x1x2x3=(u1,u2,u3)P−1x1x2x3=P−1x1x3x3
不要直接用计算基底的办法计算坐标
对称矩阵合同对角化
- 行列相伴消元
- 配方法(注意一次要把所有关于xk的项都配进去)
正定二次型
设R3上的二次型由公式q(x)=2x12+x22+3x33+2λx1x2+2x1x3确定
- 计算q在R3标准基下的矩阵
- 设q正定, 求λ的取值范围
- 证明q不可能负定
- 直接写出
A=2λ1λ10103
- 矩阵A的三个顺序主子式为
Δ1=2,Δ2=2−λ2,Δ3=5−3λ2
由Jacobi公式只需要使上述三个子式都大于0即可
如果A是负定的, 那么−A是正定的, 考虑到det(−A)=(−1)ndetA, 此时A的顺序主子式需要满足Δ1<0,Δ2>0,Δ3<0,Δ4>0,…
半正定需要不能满秩, 需要取Δn=0, 然后开始分类讨论
- 因为Δ1>0所以q不可能是负定的
设A是n阶实对称矩阵, r=rank(A)>0. 则A是半正定的当且仅当∃B∈Rr×n使得A=BtB
若A=BtB, 则xtAx=(Bx)t(Bx)≥0, 故A半正定
若A半正定, 则存在P∈GLn(R)使得
A=Pt(ErOOO)P=Pt(ErO)(ErO)P=[(ErO)P]t[(ErO)P]
设V是R上的2n维线性空间, q是V上的二次型且rank(q)=2n, 则以下三个结论等价
- 存在一个n维子空间U⊂V使得对任意u∈U,q(u)=0
- q的正惯性指数为n
- 存在V的某组基ε1,…,ε2n使得对任意的x=x1ε1+⋯+x2nε2n∈V, 有
q(x)=i=1∑nx2i−1x2i
1.⟹2. 设q的正惯性系数为m, 则存在一组基ε1,…,ε2n使得q有如下的规范型
q=x12+⋯xm2−xm+12−⋯−x2n2
若n<m则所取的U⊂ker(q)至少包含ε1,…,εm之中的某一个基底εk, 而这和q(εk)>0矛盾
若n>m则所取的U⊂ker(q)至少包含εm+1,…,ε2n之中的某一个基底εk, 而这和q(εk)<0矛盾
故n=m
2.⟹3. 也就是恒等式
=x12+⋯+xn2−xn+12−⋯−x2n2(x1+xn+1)(x1−xn+1)+(x2+xn+2)(x2−xn+2)+⋯+(xn+x2n)(xn−x2n)
且这个变量替换是可逆的
3.⟹1. 做完变量替换后, 在基底δ1,…,δ2n下有
q(y)=y1y2+⋯y2n−1y2n
考虑U=⟨δ1,δ3…,δ2n−1⟩, 则对∀y∈U有y2=y4=⋯=y2n=0故有q(y)=0
设A∈SMn(R)是正定矩阵, 则
- A−1正定
- A∨正定
- 设A=PtP,P∈GLn(R). 则A−1=P−1(Pt)−1 = P−1(Pt)−1=P−1(P−1)t, 故A−1正定
- A∨=det(A)A−1=(det(A)P−1)(det(A)P−1)t, 故A∨正定
设A,B是半正定的, 则rank(A+B)≥max(rank(A),rank(B))
因为xt(A+B)x=xtAx+xTBx≥0, 所以A+B是半正定的. 故存在P,Q,R∈Mn(R)使得A=PtP,B=QtQ,A+B=RtR, 且设s=rank(A+B)=rank(R), 并不妨令r=rank(P)=rank(A)>rank(Q)=rank(B), 只需要证明s≥r, 为此只需要证明VR⊂VP. 设v∈VR也就是Rv=0, 故有
vt(A+B)v=0⟹vtAv+vtBv=0⟹vtAv=vtBv=0
于是vtPtPv=0⟹Pv=0, 即VR⊂VP
因为矩阵乘法不增大秩, 故rank(RtR)≤rank(R)
又因为VRtR⊂VR, 故dim(ker(R))≥dim(ker(RtR)), 于是rank(R)≤rank(RtR)
综上rank(RtR)=rank(R)
二次型的性质
设V是R上的有限维线性空间, U是V的子空间, q是V上的二次型, 则
- q∣U也是二次型
- 设q的签名为(k,l), q∣U的签名为(s,t). 证明k≥s,l≥t
- 设f(x,y)是q的配极, 则f∣U×U是q∣U的配极, 故q∣U是U上的二次型
- 存在V的一组基e1,…,en使得对任意x=x1e1+⋯+xnen有
q(x)=x12+⋯xk2−xk+12−xk+l2
和U的一组基ε1,…,εd使得对任意y=y1ε1+⋯+ydεd有
q∣U(y)=y12+⋯+ys2−ys+12−⋯−ys+t2
假设s>k, 令
H=⟨ε1,…,εs⟩,W=⟨ek+1,…,en⟩
则dim(H)=s且dim(W)=n−k>n−s. 故存在非零向量z∈H∩W满足q∣U(z)>0且q(z)≤0, 矛盾!
同理分析−q和−q∣U, 我们可以得到t≤l
二次型的判定
第一种
设q:V→F是V上的二次型, 如果
- 对于∀v∈V,q(v)=q(−v)
- 对于∀x,y∈V
f(x,y)=21(q(x+y)−q(x)−q(y))
是V上的对称双线性型 (关键是双线性型, 显然是对称的), f称为q的配极, 或者叫做相伴双线性型(associated bilinear form)
第二种
设q:V→F. 则q是二次型当且仅当存在f∈L2+(V)使得∀x∈V,q(x)=f(x,x). 此时q的配极是f
线性算子的矩阵及其秩
如定义在F[x](3)上的差分算子
Δ:F[x](3)f(x)→F[x](3)→f(x+1)−f(x)
符合线性算子的定义
起在1,x,x2下的矩阵为
000100120
当需要计算秩时, 需要考虑F的特征是否等于2, 如果是, 则秩为1, 否则秩为2
线性映射的单满射性质
一个线性映射ϕ:V→W是单射当且仅当ker(ϕ)={0}
一个线性映射ϕ:V→W是满射当且仅当im(ϕ)=W
如果dim(V)=dim(W), 则ϕ是单射当且仅当ϕ是满射
构造线性算子
设V是域F上的有限维线性空间, U,W是V的子空间且满足U⊕W=V, 那么
- 存在A∈L(V)使得U=im(A)
- 存在B∈L(V)使得U=ker(B),W=im(B)
- 设e1,…,ed是U的基底, 把它扩充为V的一组基底e1,…,ed,ed+1,…,en, 令
A(ei)={ei,0,i=1,2,…,di=d+1,…,n
即可
2. 类似地, 令
A(ei)={ei,0,ei is the basis of Wei is the basis of U
即可
直和的条件
设V1,⋯,Vk是V的子空间, W=V1+V2+⋯Vk, 如果对于任意w∈W都存在唯一的v1∈V1,⋯,vk∈Vk使得
w=v1+⋯+vk
则称W是V1,⋯,Vk的直和, 并记为
W=V1⊕⋯⊕Vk
W是直和与以下两个命题等价
- 0=v1+⋯+vk⟺v1=⋯=vk=0
- ∀i∈[k],Vi∩(V1+⋯+Vi−1+Vi+1+⋯+Vk)={0}
最小公倍式
设F是域, f,g∈F[x]是非零多项式, m=deg(f),n=deg(g). 令ℓ是f和g的最小公倍式和
V={p∈F[x]∣deg(p)≤m+n}
设U是V中f,g所有公倍式的集合, 证明dim(U)=m+n−d+1, 其中d=deg(ℓ)
直接构造基底
注意到ℓ,xℓ,…,xm+n−dℓ∈U. 因为这些多项式次数两两不同, 所以它们线性无关. 设h∈U, 则存在q∈F[x]使得h=qℓ. 因为deg(h)≤m+n, 故deg(q)≤m+n−d, 于是
q=qm+n−dxm+n−d+⋯+q1x+q0
则
h=qm+n−d(xm+n−dℓ)+⋯+q1(xℓ)+q0ℓ
故h是ℓ,xℓ,…,xm+n−dℓ在F上的线性组合, 由此可知上述多项式是U的基底, 所以dim(U)=m+n−d+1
另解(对偶定理): 考虑线性映射
ϕ:Vp→V→rem(p,ℓ)
注意到ker(ϕ)={h∈V∣∃q∈F[x] s.t. h=qℓ}=U, 而im(ϕ)=F[x](d)
于是有
dim(U)+d=dim(V)⟹dim(U)=m+n+1−d
对偶空间
设V是域F上的有限维线性空间, char(F)=2. 设f,g∈V∗\{0∗}, 令
q:Vx→F→f(x)g(x)> 则
- q是V上的二次型
- rank(q)=dim⟨f,g⟩
- 设
ϕ(x,y)=21(f(x)g(y)+f(y)g(x))
是对称双线性型且ϕ(x,x)=q(x), 故q是二次型
- 设e1,…,en是V的一组基, αi=f(ei),βj=g(ej) 则q在该基底下的矩阵是
A=(ϕ(ei,ej))n×n=(2αiβj+αjβi)n×n=21(α1⋮αn(β1,…,βn)+β1⋮βn(α1,…,αn))
由此可知rank(A)≤1+1=2
如果dim⟨f,g⟩=1, 则存在λ∈F\{0}使得g=λf, 于是
A=λ(αiαj)n×n=λα1⋮αn(α1,…,αn)
故rank(A)=1
如果dim⟨f,g⟩=2, 则(α1,…,αn)和(β1,…,βn)不线性相关, 故矩阵
(α1β1⋯⋯αnβn)
中的一个二阶子式非零, 不妨设
det(α1β1α2β2)=0
则A中的二阶子式
detα1β12α1β2+α2β12α1β2+α2β1β2α2=0
于是rank(A)≥2⟹rank(A)=2