定义

是域上的维线性空间, 的一组基. 集合记为, 其中的元素称为线性算子. 线性算子通常用表示. 特别地, 表示零算子, 表示恒等算子

矩阵相似

的另一组基, 且

其中. 设算子下的矩阵等于. 由此可知, 下的矩阵为

Note

. 如果存在使得, 则称相似, 记为. 可以验证, 相似关系是一个等价关系

. 如果, 则有如下相似不变量

这一点告诉我们, 无论通过选取何种基底得到的的矩阵, 它的行列式特征多项式极小多项式都是不变的. 设. 如果, 则

这两个结论的逆命题是不正确

矩阵关系总结

初等等价 合同等价 相似等价 后面两种等价都蕴含第一种等价

线性算子代数

我们已知上的线性空间, 再由复合的结合律, 我们可推出是一个, 我们称上的一个代数

既是线性同构又是环同构, 此时称代数同构

. 如果可逆, 则称可逆算子. 如果存在使得对任意, 则称数乘算子, 此时. 如果存在使得, 则称幂零算子. 如果, 则称幂等算子. 如果, 则称对合算子

数乘算子和交换律

如果存在使得对, 则是数乘算子 **证明: ** 取, 其中, 则

因为我们总可以取使得, 故有

是数乘算子

核像分解

. 则

. 则

核核分解

. 如果有, 其中两两互素, 则 其中 具体参见核核分解