Linear Operator

定义

设$V$是域$F$上的$n$维线性空间，${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$是$V$的一组基. 集合$\mathrm{Hom}(V,V)$记为$\mathcal{L}(V)$，其中的元素称为线性算子. 线性算子通常用$\mathcal{A},\mathcal{B},\dots$表示. 特别地，$\mathcal{O}$表示零算子，$\mathcal{E}$表示恒等算子

矩阵相似

设${\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_n$是$V$的另一组基，且

$$({\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_n)=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n)P$$

其中$P\in {\mathrm{GL}}_n(F)$. 设算子$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$在${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵等于$A$. 由此可知，$\mathcal{A}$在${\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_n$下的矩阵为$P^{-1}AP$

Note

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$. 如果存在$P\in {\mathrm{GL}}_n(F)$使得$B=P^{-1}AP$，则称$B$与$A$相似，记为$B{\sim }_{s}A$. 可以验证，相似关系是一个等价关系

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$. 如果$A{\sim }_{s}B$，则有如下相似不变量

$$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B),\det (A)=\det (B),\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B),{\chi }_A={\chi }_B,{\mu }_A={\mu }_B$$

这一点告诉我们，无论通过选取何种基底得到的$\mathcal{A}$的矩阵$A$，它的秩、行列式、迹、特征多项式、极小多项式都是不变的. 设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$. 如果$A{\sim }_{s}B$，则

$$\forall f\in F[t],f(A){\sim }_{s}f(B)$$

这两个结论的逆命题是不正确的

矩阵关系总结

初等等价 $A{\sim }_{e}B⟺\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)$ 合同等价 $A{\sim }_{c}B⟺\exists P\in {\mathrm{GL}}_n(F),B=P^{t}AP$ 相似等价 $A{\sim }_{s}B⟺\exists P\in {\mathrm{GL}}_n(F),B=P^{-1}AP$ 后面两种等价都蕴含第一种等价

线性算子代数

我们已知$(\mathcal{L}(V),+,\mathcal{O},\text{数乘})$是$F$上的线性空间，再由复合的结合律，我们可推出$(\mathcal{L}(V),+,O,\circ ,\mathcal{E})$是一个环，我们称$\mathcal{L}(V)$是$F$上的一个代数

设

$$\begin{array}{rl}\Phi :\mathcal{L}(V)& \to {\mathrm{M}}_n(F)\\ \mathcal{A}& \to A\end{array}$$

则$\Phi$既是线性同构又是环同构，此时称$\Phi$是代数同构

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 如果$\mathcal{A}$可逆，则称$\mathcal{A}$是可逆算子. 如果存在$\lambda \in F$使得对任意$\mathbf{x}\in V,\mathcal{A}(\mathbf{x})=\lambda \mathbf{x}$，则称$\mathcal{A}$是数乘算子，此时$\mathcal{A}=\lambda \mathcal{E}$. 如果存在$k\in {\mathbb{Z}}^{+}$使得${\mathcal{A}}^k=\mathcal{O}$，则称$\mathcal{A}$为幂零算子. 如果${\mathcal{A}}^2=\mathcal{A}$，则称$\mathcal{A}$为幂等算子. 如果${\mathcal{A}}^2=\mathcal{E}$，则称$\mathcal{A}$是对合算子

数乘算子和交换律

如果存在$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$使得对$\forall \mathcal{B}\in \mathcal{L}(V)$有$\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, 则$\mathcal{A}$是数乘算子 证明： 取$\mathcal{B}\mathbf{x}=f(\mathbf{x})\mathbf{v}$，其中$\mathbf{x},\mathbf{v}\in V$且$f\in V^{\ast }$, 则

$$\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}⟹\mathcal{A}(f(\mathbf{x})\mathbf{v})=f(\mathcal{A}\mathbf{x})\mathbf{v}⟹f(\mathbf{x})\mathcal{A}\mathbf{v}=f(\mathcal{A}\mathbf{x})\mathbf{v}$$

因为我们总可以取$f,\mathbf{x}$使得$f(\mathbf{x})\ne 0$，故有

$$\mathcal{A}\mathbf{v}=\alpha \mathbf{v},\alpha =\frac{f(\mathcal{A}\mathbf{x})}{f(\mathbf{x})}$$

即$\mathcal{A}$是数乘算子

核像分解

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则

$$V=\ker (\mathcal{A})\oplus \mathrm{im}\mathcal{A}⟺\mathrm{rank}(\mathcal{A})=\mathrm{rank}({\mathcal{A}}^2)$$

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则

$$V=\ker (\mathcal{A})\oplus \mathrm{im}\mathcal{A}⟺V=\ker (\mathcal{A})+\mathrm{im}(\mathcal{A})$$

核核分解

若$\mathcal{A}\in \mathrm{Hom}(V,V),f\in F[x]$且$f(\mathcal{A})=\mathcal{O}$. 如果有$f=p_1\cdots p_m$，其中$p_1,\dots ,p_m\in F[x]$两两互素，则 $V=K_1\oplus \cdots \oplus K_m$ 其中$K_i=\ker (p_i(\mathcal{A}))$ 具体参见核核分解