Minimal Polynomial

多项式作用不改变相似关系

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$且$A{\sim }_{s}B$. 则存在$P\in {\mathrm{GL}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{F})$使得$A=P^{-1}BP$, 即

$$\forall k\in \mathbb{N},A^k=P^{-1}{B}^{k}P$$

进而

$$\forall f\in F[t],f(A)=P^{-1}f(B)P$$

即$f(A){\sim }_{s}f(B)$

零化多项式和极小多项式

设$f\in F[t],\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 如果$f(\mathcal{A})=\mathcal{O}$, 则称$f$是关于$\mathcal{A}$的零化多项式. 类似地可对$A\in {\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}(F)$定义$A$的零化多项式的概念. 在这些零化多项式中，我们把次数最小的称为极小多项式

Note

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$，则$A{\sim }_{s}B⟹{\mu }_A={\mu }_B$

$\mathcal{A}$的特征多项式是$\mathcal{A}$的一个特殊的零化多项式，通过后面的整除判别法，我们可以从它的因子中寻找极小多项式

整除判别法

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$和$p(t)\in F[t]\backslash \{0\}$零化$\mathcal{A}$. 则$p$是$\mathcal{A}$的极小多项式$⟺$对任意$f\in F[t]$零化$\mathcal{A}$, $p\mid f$

Tip

由此可知，$\mathcal{A}$的两个极小多项式必然在$F[t]$中相伴. 我们把关于$\mathcal{A}$的首一多项式记为${\mu }_{\mathcal{A}}$. 由于上述判别法对方阵也成立，于是我们也把$A\in {\mathrm{M}}_n(F)$的首一极小多项式记为${\mu }_A$

极小多项式的性质

特殊算子的极小多项式

数乘算子

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则$\mathrm{deg}({\mu }_{\mathcal{A}})=1$当且仅当$\mathcal{A}$是数乘算子.

类似地，$A\in {\mathrm{M}}_n(F)$是数乘矩阵当且仅当$\mathrm{deg}{\mu }_A=1$.

由此可知，数乘矩阵和非数乘矩阵必然不相似

幂零算子

$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$是幂零算子当且仅当${\mu }_{\mathcal{A}}\in F[t]$是$t$的幂次.

由此可知微分算子$\mathcal{D}:\mathbb{R}[x{]}^n\to \mathbb{R}[x{]}^n$的极小多项式是$t^n$

相似等价下的不变量

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$. 如果$A{\sim }_{s}B$, 则${\mu }_A={\mu }_B$.

极小多项式的次数

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, 则 $\dim (F[\mathcal{A}])=\mathrm{deg}({\mu }_{\mathcal{A}})$

$0$根和算子的可逆性

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, 则$\mathcal{A}$可逆$⟺{\mu }_{\mathcal{A}}(0)\ne 0$

值得注意的是，极小多项式和特征多项式的根都是$\mathcal{A}$的特征值，所以$\mathcal{A}$可逆同样蕴含了${\chi }_{\mathcal{A}}(0)\ne 0$

计算方法

通过特征多项式

由Hamilton-Cayley定理，极小多项式一定是特征多项式的因子，即${\mu }_{\mathcal{A}}\mid {\chi }_{\mathcal{A}}$

可对角化的情况

如果$\mathcal{A}$是可对角化的，且拥有不同的特征值${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d$，那么$\mathcal{A}$的极小多项式就是

$${\mu }_{\mathcal{A}}=\prod _{i=1}^d(t-{\lambda }_i)$$

零化某个向量的极小多项式

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),\mathbf{v}\in V,f(t)\in F[t]$. 如果$f(\mathcal{A})(\mathbf{v})=0$, 则称$f(t)$是通过$\mathcal{A}$零化$\mathbf{v}$的多项式.

非零、次数最小的这样的多项式称为通过$\mathcal{A}$零化$\mathbf{v}$的极小多项式，记为${\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}$, 它通常是首一的.

零化某个向量的极小多项式的性质

平凡情况

对$\forall \mathbf{v}\in V$, 有$\mathbf{v}=0⟺{\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}=1$

多项式下的变换

对任意$f\in F[t]$, 我们有${\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}={\mu }_{\mathcal{A},f(\mathcal{A})\mathbf{v}}\cdot \gcd ({\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}},f)$，利用这一点，当我们知道零化$\mathbf{v}$的极小多项式时，就可以很方便地求出零化$f(\mathcal{A})\mathbf{v}$的极小多项式

次数

类似于$\dim (F[\mathcal{A}])=\mathrm{deg}({\mu }_{\mathcal{A}})$，我们有$\dim (F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v})=\mathrm{deg}({\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}})$，其中$F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$表示循环子空间

和极小多项式之间的联系

1. ${\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}\mid {\mu }_{\mathcal{A}}$
2. 对$\forall \mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，总存在$\mathbf{v}\in V$使得${\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}={\mu }_{\mathcal{A}}$. 也就是说，总是存在这样一个$\mathbf{v}$使得$f(\mathcal{A})(\mathbf{v})=0⟹f(\mathcal{A})=\mathcal{O}$ (要把它'杀死'就必须先把$\mathcal{A}$ '杀死')

特征向量

上面的$\mathbf{v}$可称为“同归于尽向量”，与之相对的还有特征向量，它被称为“懦弱的向量”，即可以在$f(\mathcal{A})\ne \mathcal{O}$的情况下使得$f(\mathcal{A})(\mathbf{v})=0$，也就是自己先“投降”了