多项式作用不改变相似关系

. 则存在使得, 即

进而

零化多项式和极小多项式

. 如果, 则称是关于零化多项式. 类似地可对定义的零化多项式的概念. 在这些零化多项式中, 我们把次数最小的称为极小多项式

Note

, 则

特征多项式的一个特殊的零化多项式, 通过后面的整除判别法, 我们可以从它的因子中寻找极小多项式

整除判别法

零化. 则的极小多项式对任意零化,

Tip

由此可知, 的两个极小多项式必然在中相伴. 我们把关于首一多项式记为. 由于上述判别法对方阵也成立, 于是我们也把的首一极小多项式记为

极小多项式的性质

特殊算子的极小多项式

数乘算子

. 则当且仅当数乘算子.

类似地, 是数乘矩阵当且仅当.

由此可知, 数乘矩阵和非数乘矩阵必然不相似

幂零算子

幂零算子当且仅当的幂次.

由此可知微分算子的极小多项式是

相似等价下的不变量

. 如果, 则.

极小多项式的次数

, 则

根和算子的可逆性

, 则可逆

值得注意的是, 极小多项式和特征多项式的根都是特征值, 所以可逆同样蕴含了

计算方法

通过特征多项式

Hamilton-Cayley定理, 极小多项式一定是特征多项式的因子, 即

可对角化的情况

如果可对角化的, 且拥有不同的特征值, 那么的极小多项式就是

零化某个向量的极小多项式

. 如果, 则称通过零化的多项式.

非零、次数最小的这样的多项式称为通过零化的极小多项式, 记为, 它通常是首一的.

零化某个向量的极小多项式的性质

平凡情况

, 有

多项式下的变换

对任意, 我们有, 利用这一点, 当我们知道零化的极小多项式时, 就可以很方便地求出零化的极小多项式

次数

类似于, 我们有, 其中表示循环子空间

和极小多项式之间的联系

  1. , 总存在使得. 也就是说, 总是存在这样一个使得 (要把它'杀死'就必须先把 '杀死')

特征向量

上面的可称为“同归于尽向量”, 与之相对的还有特征向量, 它被称为“懦弱的向量”, 即可以在的情况下使得, 也就是自己先“投降”了