定义

, 的子空间. 如果, 即. 则称不变子空间, 或者称-子空间

的不变子空间, 则可以看做上的线性算子, 可简记限制映射

单和半单

都是的不变子空间, 我们称它们是平凡的

如果没有非平凡的子空间, 我们称单(simple) 的, 也可以称为是不可分子空间

如果是一系列单不变子空间的直和, 则称半单(semisimple) 的. 当是复线性空间时, 半单和可对角化等价

下面三点总是等价的

  1. 是半单的
  2. 如果是不变子空间, 那么它就有一个不变的, 也就是说存在不变子空间使得
  3. 由它的单不变子空间们生成

通过循环子空间, 有判定一个子空间是否为单不变子空间的定理

常见的不变子空间

满足, 则的不变子空间, 由是交换, 故有

Note

  • . 则都是的不变子空间
  • 特别地, 的不变子空间

生成的循环子空间的不变子空间, 且是包含最小-不变子空间

特征值, 则特征子空间的不变子空间

不变子空间的交、和

, -子空间. 则都是-子空间

线性轨道

, 那么算子上的轨道(orbit) 被定义为集合

线性轨道(linear orbit) 就是由上的轨道 张成的子空间, 即

对于任意的, 总是的不变子空间, 并且它是最小的包含的不变子空间, 也就是说如果是一个包含的不变子空间, 则

算子矩阵的形式

, 维不变子空间, . 则存在的一组基使得在该基底下的矩阵为

其中的某个矩阵表示, 这是因为当作用于时得到的结果不能有关于的坐标, 所以坐标是

以及, 可以看出这个矩阵的次幂具有如下形式

其中是某个的矩阵, 由此我们可以推广到对于任意

由此我们可以讨论极小多项式的性质, 意味着

故而我们有, 并且由整除判别法,

算子的不变子空间分解(矩阵的分块对角化)

, 是非平凡-子空间, 且. 设的基, 的基, 则在的基底的矩阵是

其中在对应基下的矩阵, . 进而

计算; 则

满足, 射的一组基, 的一组基, 则在这些基底下的矩阵是

其中满秩, 当时有, 否则

是非平凡-子空间满足. 设的一组基, , 则的基底下的矩阵

其中下的矩阵, , 进而

核核分解

一般多项式版本

回顾多元多项式环上的核核分解, 若, 如果有 , 其中互素, 则有

现对该结论进行推广

, 如果

其中两两互素, 则

其中

极小多项式版本

, 其中不可约且两两互素, , 令

的极小多项式是

这就是说, 对的不可约因子分解可以看作是对空间的一个划分, 其中每一个空间都是某个因子作用于后的核空间

不可分子空间

判定规则

, -子空间, 则-不可分的当且仅当下述两个条件都成立

  1. -循环子空间
  2. 中某个不可约多项式的幂次. 特别地, 在也就是复数域上时, 应当为某个一次多项式的幂次, 及

Tip

由此可知, -不可分子空间一定是-循环的, 不可分的条件比循环更强

不可分子空间直和分解

. 则存在-不可分子空间使得

-循环的, 中的某个不可约多项式的幂次,

同样地, 如果, 则, 其中, 从而上的某一个矩阵表示是一个Jordan块

分解在多项式作用下的不变性

, 设-不可分子空间直和分解为