Invariant Subspace

定义

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, $U$是$V$的子空间. 如果$\mathcal{A}(U)\subset U$, 即$\forall \mathbf{u}\in U,\mathcal{A}(\mathbf{u})\in U$. 则称$U$是$\mathcal{A}$的不变子空间, 或者称$U$是 $\mathcal{A}$-子空间

设$U$是$\mathcal{A}$的不变子空间，则$\mathcal{A}{|}_U$可以看做$U$上的线性算子，可简记限制映射$\mathcal{A}{|}_U$为${\mathcal{A}}_U$

单和半单

$\{0\},V$都是$\mathcal{A}$的不变子空间，我们称它们是平凡的

如果$V$没有非平凡的子空间，我们称$V$是单(simple) 的，也可以称为是不可分子空间

如果$V$是一系列单不变子空间的直和，则称$V$是半单(semisimple) 的. 当$V$是复线性空间时，半单和可对角化等价

下面三点总是等价的

1. $V$是半单的
2. 如果$W\subset V$是不变子空间，那么它就有一个不变的补，也就是说存在不变子空间$W^{\prime }$使得$V=W\oplus W^{\prime }$
3. $V$由它的单不变子空间们生成

通过循环子空间，有判定一个子空间是否为单不变子空间的定理

常见的不变子空间

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$满足$\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$，则$\ker (\mathcal{B}),\mathrm{im}(\mathcal{B})$是$\mathcal{A}$的不变子空间，由$F[A]$是交换环，故有

Note

• 设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),f\in F[t]$. 则$\ker (f(\mathcal{A}))$和$\mathrm{im}(f(\mathcal{A}))$都是$\mathcal{A}$的不变子空间
• 特别地，$\ker (\mathcal{A}),\mathrm{im}(\mathcal{A})$是$\mathcal{A}$的不变子空间

由$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$和$\mathbf{v}\in V$生成的循环子空间$F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$是$\mathcal{A}$的不变子空间，且是包含$\mathbf{v}$的最小的$\mathcal{A}$-不变子空间

设$\lambda \in F$是$\mathcal{A}$的特征值，则特征子空间$V^{\lambda }$是$\mathcal{A}$的不变子空间

不变子空间的交、和

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, $U_1,U_2$是$\mathcal{A}$-子空间. 则$U_1+U_2$和$U_1\cap U_2$都是$\mathcal{A}$-子空间

线性轨道

设$\mathbf{v}\in V$，那么算子$\mathcal{A}$在$\mathbf{v}$上的轨道(orbit) 被定义为集合${\left\{{\mathcal{A}}^k\mathbf{v}\right\}}_{k=0}^{\infty }$

而$\mathbf{v}$的线性轨道(linear orbit) $[\mathbf{v}]$就是由$\mathcal{A}$在$\mathbf{v}$上的轨道 张成的子空间，即

$$[\mathbf{v}]=⟨\mathbf{v},\mathcal{A}(\mathbf{v}),{\mathcal{A}}^2(\mathbf{v}),\dots ⟩$$

对于任意的$\mathbf{v}\in V$, $[\mathbf{v}]$总是$V$的不变子空间，并且它是最小的包含$\mathbf{v}$的不变子空间，也就是说如果$W\subset V$是一个包含$\mathbf{v}$的不变子空间，则$[\mathbf{v}]\in W$

算子矩阵的形式

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，$U$是$\mathcal{A}$的$d$维不变子空间，$0<d<n$. 则存在$V$的一组基使得$\mathcal{A}$在该基底下的矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ O& D\end{array}\right)$$

其中$B\in {\mathrm{M}}_d(F)$是${\mathcal{A}}_U$的某个矩阵表示，这是因为当$\mathcal{A}$作用于${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_d$时得到的结果不能有关于${\mathbf{e}}_{d+1},\dots ,{\mathbf{e}}_n$的坐标，所以坐标是$\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right)$

以及，可以看出这个矩阵的$k$次幂具有如下形式

$$A^k=\left(\begin{array}{cc}{B}^k& \ast \\ O& f(D)\end{array}\right)$$

其中$\ast$是某个$d\times (n-d)$的矩阵，由此我们可以推广到对于任意$f\in F[t]$有

$$A^k=\left(\begin{array}{cc}{B}^k& \ast \\ O& D^k\end{array}\right)$$

由此我们可以讨论极小多项式的性质，${\mu }_{\mathcal{A}}(A)=O_{n\times n}$意味着

$$\left(\begin{array}{cc}{\mu }_{\mathcal{A}}(B)& \ast \\ O& {\mu }_{\mathcal{A}}(D)\end{array}\right)=O_{n\times n}$$

故而我们有${\mu }_{\mathcal{A}}(B)=O_{d\times d},{\mu }_{\mathcal{A}}(D)=O_{(n-d)\times (n-d)}$，并且由整除判别法，${\mu }_B\mid {\mu }_{\mathcal{A}},{\mu }_D\mid {\mu }_{\mathcal{A}}$且${\mu }_{{\mathcal{A}}_U}\mid {\mu }_{\mathcal{A}}$

算子的不变子空间分解（矩阵的分块对角化）

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, $U_1,U_2$是非平凡$\mathcal{A}$-子空间，且$V=U_1\oplus U_2$. 设${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_{d_1}$是$U_1$的基，${\delta }_1,\dots ,{\delta }_{d_2}$是$U_2$的基，则在$V$的基底${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_{d_1},{\delta }_1,\dots ,{\delta }_{d_2}$下$\mathcal{A}$的矩阵是

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& O\\ O& A_2\end{array}\right)$$

其中$A_i\in M_{d_i}(F)$是${\mathcal{A}}_{U_i}$在对应基下的矩阵，$i=1,2$. 进而${\mu }_{\mathcal{A}}=\mathrm{lcm}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{U_1}},{\mu }_{{\mathcal{A}}_{U_2}})$

例

计算${\mu }_A,A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$; 则${\mu }_A=\mathrm{lcm}({\mu }_{(1)},{\mu }_{(0)})=\mathrm{lcm}(\mathrm{t}-1,\mathrm{t})=(t-1)t$

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$满足$\ker (\mathcal{A})\oplus \mathrm{im}(\mathcal{A})$, 射${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_r$是$\mathrm{im}(\mathcal{A})$的一组基，${\mathbf{e}}_{r+1},\dots ,{\mathbf{e}}_n$是$\ker (\mathcal{A})$的一组基，则$\mathcal{A}$在这些基底下的矩阵是

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& O\\ O& O\end{array}\right)$$

其中$B\in M_r(F)$满秩，当$r=n$时有$B=A$, 否则${\mu }_A=\mathrm{lcm}({\mu }_B.t)$

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),U_1,\dots ,U_k$是非平凡$\mathcal{A}$-子空间满足$V=U_1\oplus \cdots \oplus U_k$. 设$Z_i$是$U_i$的一组基，$i=1,\dots ,k$, 则$\mathcal{A}$在$V$的基底$Z_1\cup \cdots \cup Z_k$下的矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& O& \cdots & O\\ O& A_2& \cdots & O\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ O& O& \cdots & A_k\end{array}\right)$$

其中$A_i$是${\mathcal{A}}_{U_i}$在$Z_i$下的矩阵，$i=1,2,\dots ,k$, 进而

$${\mu }_{\mathcal{A}}=\mathrm{lcm}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{U_1}},\dots ,{\mu }_{{\mathcal{A}}_{U_k}})$$

核核分解

一般多项式版本

回顾多元多项式环上的核核分解，若$\mathcal{A}\in \mathrm{Hom}(V,V),f\in F[x]$且$f(\mathcal{A})=\mathcal{O}$, 如果有 $f=pq$, 其中$p,q\in F[x]$互素，则有

$$V=\ker (p(\mathcal{A}))\oplus \ker (q(\mathcal{A}))$$

现对该结论进行推广

若$\mathcal{A}\in \mathrm{Hom}(V,V),f\in F[x]$且$f(\mathcal{A})=\mathcal{O}$, 如果

$$f=p_1\cdots p_m$$

其中$p_1,\dots ,p_m\in F[x]$两两互素，则

$$V=K_1\oplus \cdots \oplus K_m$$

其中$K_i=\ker (p_i(\mathcal{A}))$

极小多项式版本

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),{\mu }_{\mathcal{A}}=p_1^{m_1}\cdots P_s^{m_s}$, 其中$p_1,\dots ,p_s\in F[t]\backslash F$不可约且两两互素，$m_1,\dots ,m_s\in {\mathbb{Z}}^{+}$，令

$$K_i=\ker (P_i^{m_i}(\mathcal{A}))$$

则

$$V=K_1\oplus \cdots \oplus K_s$$

且$\mathcal{A}{|}_{K_i}$的极小多项式是$p_i^{m_i}$

这就是说，对${\mu }_{\mathcal{A}}$的不可约因子分解可以看作是对空间的一个划分，其中每一个空间都是某个因子作用于$\mathcal{A}$后的核空间

不可分子空间

判定规则

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, $U$是$\mathcal{A}$-子空间，则$U$是$\mathcal{A}$-不可分的当且仅当下述两个条件都成立

1. $U$是$\mathcal{A}$-循环子空间
2. ${\mu }_{{\mathcal{A}}_U}$是$F[t]$中某个不可约多项式的幂次. 特别地，在$F=\mathbb{C}$也就是复数域上时，${\mu }_{{\mathcal{A}}_U}$应当为某个一次多项式的幂次，及${\mu }_{{\mathcal{A}}_U}(t)=(t-\lambda {)}^m$

Tip

由此可知，$\mathcal{A}$-不可分子空间一定是$\mathcal{A}$-循环的，不可分的条件比循环更强

不可分子空间直和分解

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则存在$\mathcal{A}$-不可分子空间$W_1,\dots ,W_k$使得

$$V=W_1\oplus \cdots \oplus W_k$$

且$W_i$是$\mathcal{A}$-循环的，${\mu }_{{\mathcal{A}}_{W_i}}$是$F[t]$中的某个不可约多项式的幂次，$i=1,2,\dots ,k$

同样地，如果$F=\mathbb{C}$，则${\mu }_{{\mathcal{A}}_{W_i}}=(t-{\lambda }_i{)}^{d_i}$，其中$d_i=\dim (W_i)$，从而${\mathcal{A}}_{W_i}$在$W_i$上的某一个矩阵表示是一个Jordan块$J_{d_i}(\lambda )$

分解在多项式作用下的不变性

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),f\in F[t]$，设$V$的$\mathcal{A}$-不可分子空间直和分解为

$$V=U_1\oplus \cdots \oplus U_{\ell }$$

则

$$f(\mathcal{A})(V)=f(\mathcal{A})(U_1)\oplus \cdots \oplus f(\mathcal{A})(U_{\ell })$$