Interference of Waves

波的叠加和干涉

波的叠加原理

波的独立传播定律：当两列（或多列）波同时存在时，在它们的交迭区域内，每个点的振动是各列波单独在该点产生振动的线性迭加，表述为：

$$\vec{U}(p,t)={\vec{U}}_1(p,t)+{\vec{U}}_2(p,t)+\cdots$$

注意这里独立传播的是振动，而不是光强或者振幅 光波在真空中总是独立传播的，而在媒质中，有时会违反独立传播定律，出现“非线性”

波的干涉和相干条件

合成波

$$\tilde{U}(p,t)={\tilde{U}}_1(p,t)+{\tilde{U}}_2(p,t)$$

合成波的强度

$$\begin{array}{rl}I(p)& =\overline{\tilde{U}(p,t)\cdot {\tilde{U}}^{\ast }(p,t)}\\ & =I_1(p)+I_2(p)+\overline{2{\mathbf{A}}_1(p)\cdot {\mathbf{A}}_2(p)\cos [({\omega }_1-{\omega }_2)t+\delta (p)]}\end{array}$$

其中\overline表示平均值，且有

$$\delta (p)={\phi }_1(p)-{\phi }_2(p)$$

和干涉项

$$\overline{2{\mathbf{A}}_1(p)\cdot {\mathbf{A}}_2(p)\cos [({\omega }_1-{\omega }_2)t+\delta (p)]}$$

要让上面这项不为$0$，我们有相干条件

• 频率相同
• 存在着相互平行的振动分量
• 存在着稳定的相位差

普通光源发光的机制

原子和分子（微观客体）内部的能量改变特点：

• 不同原子或分子所发射的波列在振动方向和位相上相互独立，没有联系
• 每个原子或分子发光的持续时间极短 所以两个普通光源发出的光波之间很难相干

Note

几个重要的时间间隔：

1. 光扰动的时间周期： $T\sim 10^{-15}$ sec
2. 实验观测的时间（人眼的响应时间）： $\tau \sim 10^{-1}$ sec
3. 探测器响应时间：$\Delta t\sim 10^{-9}$ sec

由于$\tau >>\Delta t>>T$ 所以**无论是实际观察还是仪器接收，得到的都不可能是某一瞬间的扰动分布，而只能是扰动强度的时间平均值， 即强度. **

相干光源和非相干光源：

• 两光源间有固定的位相差，因而按振幅进行迭加，那么它们称为相干光源
• 而若两光源之间没有固定的位相差，因而按强度进行迭加，则称为非相干光源

干涉的反衬度

反衬度（可见度）：

$$\gamma =\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m},0\le \gamma \le 1$$

对于两束光的干涉

$$\gamma =\frac{{\mathbf{A}}_1\cdot {\mathbf{A}}_2\cdot 1-{\mathbf{A}}_1\cdot {\mathbf{A}}_2\cdot (-1)}{I_1+I_2}=\frac{2{\mathbf{A}}_1\cdot {\mathbf{A}}_2}{I_1+I_2}$$

此时$I=(I_1+I_2)(1+\gamma \cos \delta )$

两个点源的干涉

两列球面波的干涉

设有两个强度相等的相干光源$Q_1,Q_2$, 在$r_1,r_2\gg Q_1{Q}_2$的情况下有

$$\delta (p)=\frac{2\pi }{\lambda }(r_1-r_2)$$

故条纹

$$\{\begin{array}{ll}\text{max},& r_1-r_2=k\lambda \\ \text{min},& r_1-r_2=(k+1/2)\lambda \end{array}$$

等强面为回转双曲面

杨氏（T. Young，1801）双缝实验

强度分布

$$I(x^{\prime },y^{\prime })=4{\left(\frac{a}{D}\right)}^2{\cos }^2\left(\frac{\pi d}{\lambda D}{x}^{\prime }\right)$$

条纹间距

$$\Delta x=\frac{\lambda D}{d}$$

Young氏实验最重要的一点在于：利用次光源分解，巧妙地获得了相干光源

两束平行光的干涉

两束平行光束的传播方向为$({\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1),({\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2)$ 在$z=0$的波前上

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}{\phi }_1(x^{\prime },y^{\prime })& =k(x^{\prime }\cos {\alpha }_1+y^{\prime }\cos {\beta }_1)-{\phi }_{10}\\ {\phi }_2(x^{\prime },y^{\prime })& =k(x^{\prime }\cos {\alpha }_2+y^{\prime }\cos {\beta }_2)-{\phi }_{20}\end{array}\\ \\ \delta (x^{\prime },y^{\prime })=k{x}^{\prime }(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2)+k{y}^{\prime }(\cos {\beta }_1-\cos {\beta }_2)+{\phi }_{20}-{\phi }_{10}\\ \\ I(x^{\prime },y^{\prime })=(A_1^2+A_2^2)\{1+\gamma \cos [k{x}^{\prime }(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2)\\ +k{y}^{\prime }(\cos {\beta }_1-\cos {\beta }_2)+{\phi }_{20}-{\phi }_{10}]\}\end{array}$$

有反衬度

$$\gamma =\frac{2A_1/A_2}{1+{\left(A_1/A_2\right)}^2}=\frac{2A_1{A}_2}{A_1^2+A_2^2}$$

空间频率

凡是有周期，就可以引入频率

干涉条纹的间隔

$$\{\begin{array}{ll}\Delta x^{\prime }=\frac{\lambda }{\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2}& \\ \Delta y^{\prime }=\frac{\lambda }{\cos {\beta }_1-\cos {\beta }_2}& \end{array}$$

条纹的空间频率

$$\{\begin{array}{l}{f}_{x^{\prime }}=\frac{\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2}{\lambda }\\ f_{y^{\prime }}=\frac{\cos {\beta }_1-\cos {\beta }_2}{\lambda }\end{array}$$