记号: 设是整环. 则 且是中所有可逆元的集合.
重数
设是UFD, 是不可约元. 若非负整数, 则称是在中的重数(multiplicity)
这里的是良定义的, 也就是说一定存在且有限
不可约分解
设和是两两互不相伴的不可约元, 设在中的重数分别是, 则
多项式重根
设. 设在中的重数为正, 则称是中的重根. 当时称为单根, 时称为重根
设, 是互不相同的根, 其重数分别是. 则
特别地,
UFD中的最大公因子和最小公倍式
设是UFD, . 则它们的最大公因子和最小公倍式都存在(直接考虑不可约分解式)
设是UFD, , 则
Gauss 引理
容度
设是UFD, . 设
则称为的容度(content), 记为 设, 其中 满足. 则称是的本原部分(primitive part), 记为 设. 如果, 则称是本原多项式
引理: 设是UFD, . 再设是本原多项式. 如果, 则
Gauss 引理
设D是UFD, 都是本原多项式, 则也是本原多项式
推论: 设D是UFD, . 则
Eisenstein 不可约性判别法
设是UFD, 是的分式域. 设且. 如果不能写成两个中正次数的多项式之积, 则在不可约
例子: 中不可约中也不可约
设是UFD, 是的分式域.
其中. 设是中的不可约元. 如果
则在中不可约