Gauss's Lemma and Eisenstein's Irreducibility Criterion

记号：设$D$是整环. 则$D^{\ast }=D\backslash \{0\}$ 且$U_D$是$D$中所有可逆元的集合.

重数

设$D$是UFD, $a,p\in D^{\ast }$是不可约元. 若非负整数$m\text{ s.t. }{p}^m|a,p^{m+1}\nmid a$，则称$m$是$p$在$a$中的重数(multiplicity)

这里的$m$是良定义的，也就是说$m$一定存在且有限

不可约分解

设$a\in D^{\ast }$和$p_1,\cdots ,p_k\in D^{\ast }$是两两互不相伴的不可约元，设$p_1,\cdots ,p_k$在$a$中的重数分别是$m_1,\cdots ,m_k$, 则$p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}|a$

多项式重根

设$f\in F[x{]}^{\ast },x-\alpha \in F[x]$. 设$x-\alpha$在$f$中的重数$m$为正，则称$\alpha$是$f$中的$m$重根. 当$m=1$时称为单根, $m>1$时称为重根

设$f\in F[x]\backslash F$, ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\in F$是$f$互不相同的根, 其重数分别是$m_1,\cdots ,m_s$. 则

$$(x-{\alpha }_1{)}^{m_1}\cdots (x-{\alpha }_s{)}^{m_s}|f$$

特别地, $m_1+\cdots +m_s\le \mathrm{deg}(f)$

UFD中的最大公因子和最小公倍式

设$D$是UFD, $a,b\in D^{\ast }$. 则它们的最大公因子和最小公倍式都存在(直接考虑不可约分解式)

设$D$是UFD, $a_1,\cdots ,a_m,b\in D^{\ast }$, 则

$$\gcd (a_{1}b,\cdots ,a_{m}b)=\gcd (a_1,\cdots ,a_m)b$$

Gauss 引理

容度

设$D$是UFD, $f\in D[x{]}^{\ast }$. 设

$$f=f_n{x}^n+f_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +f_0,f_i\in D$$

则$\gcd (f_n,f_{n-1},\cdots ,f_0)$称为$f$的容度(content), 记为$\mathrm{cont}(f,x)$ 设$f=\mathrm{cont}(f)g$, 其中 $g\in D[x{]}^{\ast }$满足$\mathrm{cont}(g)=1$. 则称$g$是$f$的本原部分(primitive part), 记为$\mathrm{pp}(f,x)$ 设$h\in D[x{]}^{\ast }$. 如果$\mathrm{cont}(h)=1$, 则称$h$是本原多项式

引理: 设$D$是UFD, $f\in D[x{]}^{\ast }$. 再设$a\in D^{\ast },g\in D[x{]}^{\ast }$是本原多项式. 如果$ag=\mathrm{cont}(f)\mathrm{pp}(f)$, 则$a\approx \mathrm{cont}(f),g\approx \mathrm{pp}(f)$

Gauss 引理

设D是UFD， $f,g\in D[x{]}^{\ast }$都是本原多项式，则$fg$也是本原多项式

推论: 设D是UFD，$f,g\in D[x{]}^{\ast }$. 则

$$\mathrm{cont}(fg)\approx \mathrm{cont}(f)\mathrm{cont}(g),\mathrm{pp}(fg)\approx \mathrm{pp}(f)\mathrm{pp}(g)$$

Eisenstein 不可约性判别法

设$D$是UFD， $F$是$D$的分式域. 设$f\in F[x]$且$\mathrm{deg}(f)>0$. 如果$f$不能写成两个$D[x]$中正次数的多项式之积，则$f$在$F[x]$不可约

例子: $\mathbb{Z}$ 中不可约$\to \mathbb{Q}$中也不可约

设$D$是UFD，$F$是$D$的分式域.

$$f=f_n{x}^n+f_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +f_0$$

其中$n>0,f_n,f_{n-1}\cdots f_0\in F,f_n\ne 0$. 设$p$是$D$中的不可约元. 如果

$$p\nmid f_n,p\mid f_{n-1},\cdots ,p\mid f_0,p^2\nmid f_0$$

则$f$在$F[x]$中不可约