Normal Operator and Normal Matrix

伴随算子

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，如果算子$\mathcal{B}\in \mathcal{L}(V)$满足对任意$\mathbf{x},y\in V$都有$(\mathcal{A}(\mathbf{x})|\mathbf{y})=(\mathbf{x}|\mathcal{B}(\mathbf{y}))$，则称$\mathcal{B}$是$\mathcal{A}$的伴随算子（Adjoint Operator）

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，则$\mathcal{A}$的伴随算子存在且唯一. 如果$\mathcal{A}$在$V$的单位正交基${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵等于$A$，则其伴随算子在该基下的矩阵等于$A^t$

我们把$\mathcal{A}$的伴随算子记为${\mathcal{A}}^{\ast }$

正规算子

Tip

我们只在$V={\mathbb{R}}^n$时讨论正规算子

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，如果$\mathcal{A}{\mathcal{A}}^{\ast }={\mathcal{A}}^{\ast }\mathcal{A}$，则称$\mathcal{A}$是正规算子（Normal Operator），类似地，设$A\in {\mathrm{M}}_n(\mathbb{R})$，如果$A{A}^t=A^{t}A$，则称$A$是正规矩阵（Normal Matrix）

特别地，若$\mathcal{A}{\mathcal{A}}^{\ast }=\mathcal{E}$，则称$\mathcal{A}$是正交算子（Orthogonal Operator）

由定义，设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，$\mathcal{A}$在$V$的单位正交基${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵为$A$，则$\mathcal{A}$正规当且仅当$A$正规

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，如果${\mathcal{A}}^{\ast }=\mathcal{A}$，则称$\mathcal{A}$是对称算子（Symmetric Operator），如果${\mathcal{A}}^{\ast }=-\mathcal{A}$，则称$\mathcal{A}$是斜对称算子（Skew-symmetrix Operator） . 由此可知，对称和斜对称算子都是正规算子，对称和斜对称矩阵都是正规矩阵

Tip

正交矩阵是正规矩阵，这是因为设$P\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$，则有$P^{t}P=E=P{P}^t$

正规算子的保内性

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，如果对于任意$\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$

$$(\mathbf{x}|\mathbf{y})=\left(\mathcal{A}(\mathbf{x})|\mathcal{A}(\mathbf{y})\right)$$

则称$\mathcal{A}$是保内(积)的（preserve the inner product）

若$\mathcal{A}$在$V$的单位正交基${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵为$A$，则下列断言等价

1. $\mathcal{A}$保内
2. $A\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$
3. 对任意$\mathbf{x}\in V,\Vert \mathbf{x}\Vert =\Vert \mathcal{A}(\mathbf{x})\Vert$ （保长）
4. 对任意$\mathbf{x},\mathbf{y}\in V,\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert =\Vert \mathcal{A}(\mathbf{x})-\mathcal{A}(\mathbf{y})\Vert$（保距离） 上述等价命题说明了正交矩阵的“旋转”性质，且保内算子是正规算子，也称为正交（保长，保距）算子，因为正交算子一定是正规算子

正规算子的不可分子空间分解

正规矩阵的形式

设$n$阶实方阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ O_{(n-k)\times k}& D\end{array}\right)$$

其中$B\in {\mathrm{M}}_k(\mathbb{R})$，那么如果$A$正规，则$C=O_{k\times (n-k)}$，这一点可以通过矩阵迹的交换不变性导出

正规算子的不变子空间

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$是正规算子，$W\subset V$是$\mathcal{A}$-子空间（$\mathcal{A}$的不变子空间），则

1. $W^{\perp }$是$\mathcal{A}$-子空间
2. $\mathcal{A}$在$W$上的限制算子$\mathcal{A}{|}_W$是正规算子

这说明，如果一个算子$\mathcal{A}$是正规的，那么$W$是$\mathcal{A}$-不变子空间$⟺$ $W^{\perp }$是$\mathcal{A}$-不变子空间

实空间中不变子空间的维数

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，则$V$有一维或二维的$\mathcal{A}$子空间

这是因为$\mathbb{R}[t]$中的非平凡不可约多项式的次数都不大于$2$，所以设$A$的极小多项式${\mu }_A=pq$,其中$p,q\in \mathbb{R}[t],0<\mathrm{deg}(p)\le 2$，$p$在$\mathbb{R}[t]$中不可约. 因为$\mathrm{deg}(q)<\mathrm{deg}({\mu }_A)$且${\mu }_A$是最小的零化$\mathcal{A}$的多项式，故$q(\mathcal{A})\ne \mathcal{O}$. 于是存在$\mathbf{v}\in V$使得$\mathbf{w}:=q(\mathcal{A})(\mathbf{v})\ne 0$. 设循环子空间$W=F[A]\cdot \mathbf{w}$，则$\dim (W)>0$，又因为

$$p(\mathcal{A})(\mathbf{w})=p(\mathcal{A})q(\mathcal{A})(\mathbf{v})={\mu }_A(\mathbf{v})=0$$

所以$\mathrm{deg}({\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{w}})\le 2$，从而$\dim (W)\le 2$，（考虑零化某个向量的极小多项式的次数）

分解为正规算子的不可分子空间

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$正规，$n=\dim (V)$，则

$$V=U_1\oplus \cdots \oplus U_s\oplus U_{2s+1}\oplus \cdots \oplus U_n$$

其中

1. $U_1,\dots ,U_s$是二维$\mathcal{A}$-不可分子空间
2. $U_{2s+1},\dots ,U_n$是一维$\mathcal{A}$-不可分子空间
3. $U_1,\dots ,U_s,U_{2s+1},\dots ,U_n$两两正交