伴随算子
设, 如果算子满足对任意都有, 则称是的伴随算子(Adjoint Operator)
设, 则的伴随算子存在且唯一. 如果在的单位正交基下的矩阵等于, 则其伴随算子在该基下的矩阵等于
我们把的伴随算子记为
正规算子
Tip
我们只在时讨论正规算子
设, 如果, 则称是正规算子(Normal Operator), 类似地, 设, 如果, 则称是正规矩阵(Normal Matrix)
特别地, 若, 则称是正交算子(Orthogonal Operator)
由定义, 设, 在的单位正交基下的矩阵为, 则正规当且仅当正规
设, 如果, 则称是对称算子(Symmetric Operator), 如果, 则称是斜对称算子(Skew-symmetrix Operator) . 由此可知, 对称和斜对称算子都是正规算子, 对称和斜对称矩阵都是正规矩阵
Tip
正交矩阵是正规矩阵, 这是因为设, 则有
正规算子的保内性
设, 如果对于任意
则称是保内(积)的(preserve the inner product)
若在的单位正交基下的矩阵为, 则下列断言等价
- 保内
- 对任意 (保长)
- 对任意(保距离) 上述等价命题说明了正交矩阵的“旋转”性质, 且保内算子是正规算子, 也称为正交(保长, 保距)算子, 因为正交算子一定是正规算子
正规算子的不可分子空间分解
正规矩阵的形式
设阶实方阵
其中, 那么如果正规, 则, 这一点可以通过矩阵迹的交换不变性导出
正规算子的不变子空间
设是正规算子, 是-子空间(的不变子空间), 则
- 是-子空间
- 在上的限制算子是正规算子
这说明, 如果一个算子是正规的, 那么是-不变子空间 是-不变子空间
实空间中不变子空间的维数
设, 则有一维或二维的子空间
这是因为中的非平凡不可约多项式的次数都不大于, 所以设的极小多项式,其中, 在中不可约. 因为且是最小的零化的多项式, 故. 于是存在使得. 设循环子空间, 则, 又因为
所以, 从而, (考虑零化某个向量的极小多项式的次数)
分解为正规算子的不可分子空间
设正规, , 则
其中
- 是二维-不可分子空间
- 是一维-不可分子空间
- 两两正交