特征向量

设 $A \in L (V), v \in V \ {0}$ . 如果 $⟨ v ⟩$ 是 $A$ -子空间, 则称 $v$ 是 $A$ 的一个特征向量, 其中 $A$ -子空间表示 $A$ 的不变子空间

设 $A \in L (V), v \in V \ {0}$ . 则下列结论等价:

特征值

我们称上面等价结论 $3.$ 中的 $λ$ 是关于特征向量 $v$ 的特征值, 简称 $A$ 的特征值.

特别地, 如果 $0$ 是 $A$ 的一个特征值, 那么 $A$ 必然是不可逆的.

对于 $λ \in F$ , 以下两个结论等价

设 $A \in L (V), e_{1}, \dots, e_{n}$ 是 $V$ 的一组基, $A$ 在该基底下的矩阵为 $A$ . 设 $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ 且 $x \neq = 0$ . 则 $x$ 是 $A$ 的特征向量当且仅当

λ x_{1} ⋮ x_{n} = A x_{1} ⋮ x_{n} ⟺ (λ E - A) x_{1} ⋮ x_{n} = 0 ⋮ 0

由此知 $det (λ E - A) = 0$ . 设 $χ_{A} (t) = det (tE - A) \in F [t]$ . 则 $x$ 是 $A$ 的特征向量蕴含着它对应的特征值 $λ$ 是 $χ_{A} (t)$ 的根, 反之它的根也是 $A$ 的特征值

设 $A \in M_{n} (F), t$ 是 $F$ 上的未定元, 则多项式

det (tE - A) \in F [t]

称为 $A$ 的特征多项式, 记为 $χ_{A} (t)$

矩阵的特征多项式是相似不变量

设 $A, B \in M_{n} (F)$ 则 $A \sim_{s} B ⟹ χ_{A} = χ_{B}$

设 $A \in M_{n} (F)$ . 特征多项式 $χ_{A}$ 在 $F$ 中的根称为 $A$ 的特征根(eigenroots), 这些特征根的集合记为 $spec_{F} (A)$ , 称为 $A$ 在 $F$ 中的谱(spectrum)

矩阵的特征根就是矩阵的特征值, 且 $spec_{F} (A)$ 也是相似不变量

设 $V$ 是 $C$ 上的线性空间, $A \in L (V)$ , 则 $A$ 一定有特征向量

特征多项式的次数为 $n = dim (V)$ 设 $A \in M_{n} (F)$

χ_{A} (t) = t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + a_{1} t + a_{0}, a_{i} \in F

则有 $a_{n - 1} = - tr (A), a_{0} = (- 1)^{n} det (A)$ . 特别地, $A$ 可逆 $\iff$$0$ 不是 $A$ 的特征根

设 $A \in M_{n} (F)$ 是如下分块上三角矩阵

A_{1} O O ⋮ O * A_{2} O ⋮ O * * A_{3} ⋮ O \dots \dots \dots ⋱ \dots * * * * A_{k}

则有 $χ_{A} = χ_{A_{1}} \dots χ_{A_{k}}$

设 $λ \in F$ 是 $A$ 的特征值, 令

V^{λ} = {x \in V ∣ A (x) = λ x}

称为 $A$ 关于 $λ$ 的特征子空间, 可以验证 $V^{λ}$ 是 $A$ 的不变子空间

由定义, 特征子空间可以写成

V^{λ} = ker (λ E - A)

以下三个结论等价

由对偶定理可以得到

dim V^{λ} = dim ker (λ E - A) = n - rank (λ E - A)

我们把 $dim V^{λ}$ 称为 $λ$ 的几何重数, 而把 $λ$ 在 $χ_{A} (t)$ 中的重数称为 $λ$ 的代数重数

Tip

$λ$ 的代数重数总是大于等于它的几何重数