特征向量
设. 如果是-子空间,则称是的一个特征向量,其中-子空间表示的不变子空间
设. 则下列结论等价:
- 是的特征向量
特征值
我们称上面等价结论中的是关于特征向量的特征值,简称的特征值.
特别地,如果是的一个特征值,那么必然是不可逆的.
对于,以下两个结论等价
- 是的特征值
- ,其中是的极小多项式
特征多项式
设是的一组基,在该基底下的矩阵为. 设且. 则是的特征向量当且仅当
由此知. 设. 则是的特征向量蕴含着它对应的特征值是的根,反之它的根也是的特征值
设是上的未定元,则多项式
称为的特征多项式,记为
矩阵的特征多项式是相似不变量
设则
设. 特征多项式在中的根称为的特征根(eigenroots),这些特征根的集合记为,称为在中的谱(spectrum)
矩阵的特征根就是矩阵的特征值,且也是相似不变量
设是上的线性空间,,则一定有特征向量
特征多项式的形式
特征多项式的次数为 设
则有. 特别地,可逆\iff$$0不是的特征根
设是如下分块上三角矩阵
则有
特征子空间
设是的特征值,令
称为关于的特征子空间,可以验证是的不变子空间
由定义,特征子空间可以写成
特征子空间的和
以下三个结论等价
- 是可对角化的
- 是直和
维数和重数
由对偶定理可以得到
我们把称为的几何重数,而把在中的重数称为的代数重数
Tip
的代数重数总是大于等于它的几何重数