C上的Jordan标准型
Jordan块
设A∈L(V). 则V是A-不可分的当且仅当存在λ∈C使得极小多项式μA=(t−λ)n. 此时, A在V的某组基下的矩阵是
Jn(λ)=λ00⋮001λ0⋮0001λ⋮00⋯⋯⋯⋱⋯⋯000⋮λ0000⋮1λ
我们称此矩阵为关于λ的n阶Jordan块
变换为Jordan块的矩阵
事实上, 满足P−1AP=Jn(λ)的那个转移矩阵P为
P=(ϵ1,…,ϵn)
其中ϵj=(A−λE)n−j(v), 且v满足V=F[A]⋅v. 或者说v∈Kλ是特征值λ对应的一个广义特征向量, 而ϵ1,…,ϵn代表了v的一个广义特征向量循环
由矩阵的基底变换可知有Jn(λ)=P−1AP⟹A=PJn(λ)P−1
Jordan块的基本性质
Jordan块的基本性质如下
- 如果λ=0,则rank(Jn(λ))=n, 而rank(Jn(0))=n−1
- Jn(λ)=λEn+Jn(0)
- Jn(λ)的极小多项式和特征多项式都等于(t−λ)n, 从而把Jn(λ)看成Cn上的算子后, Cn是Jn(λ)-循环的
- Jn(λ)的唯一特征值为λ, 从而对应的特征子空间的维数为1, 这是因为
Jn(λ)−λEn=Jn(0)
于是
Jn(λ)v⟹dimVλ=λv⟹Jn(0)v=0=dimkerJn(0)=n−(n−1)=1
- Jn(λ)可对角化当且仅当n=1
- Jnt(λ)=B−1Jn(λ)B=BJn(λ)B−1, 其中
B=00⋮0100⋮10⋯⋯⋱⋯⋯01⋮0010⋯00
Jordan块的幂
Jordan块可以写成如下形式
J=λE+N
其中
N=000⋮00100⋮00010⋮00⋯⋯⋯⋱⋯⋯000⋮00000⋮10
由λE和N的可交换性以及二项式定理可以给出
Jk(λ)n=(λE+N)n=r=0∑n(rn)λn−rNr=r=0∑min(n,k−1)(rn)λn−rNr
也就是
Jk(λ)n=λn(1n)λn−1λn(2n)λn−2(1n)λn−1⋱⋯⋯⋱⋱⋯⋯⋱⋱λn(k−1n)λn−k+1(k−2n)λn−k+2⋮⋮(1n)λn−1λn
Jordan标准型的形式
设A∈L(V). 则A在V的某组基下的矩阵是
Jd1(λ1)O⋮OOJd2(λ2)⋮O⋯⋯⋱⋯OO⋮Jdk(λk)
其中d1,…,dk∈N∗,λ1,…,λk∈C, 都不必两两不同
这是因为总可以作循环子空间分解使得
V=W1⊕⋯⊕Wk
其中Wi是A-循环且A-不可分的, 由不可分子空间的性质得到μWi一定是C[t]的重某个不可约多项式的幂次, 而由代数基本定理C[t]中的不可约多项式总是一次的, 故可设μWi=(t−λi)di, 因为对于循环空间degμWi=degχWi=di. 所以由Jordan块的定义就可知AWi在Wi的某组基下的矩阵是Jdi(λi)
我们称上面的矩阵为A的一个Jordan标准型, 其基本性质如下
- rank(JA)=∑i=1krank(Jdi(λi))
- JA的(也是A的)极小多项式为
lcm((t−λ1)d1,…,(t−λk)dk)
特征多项式为
(t−λ1)d1⋯(t−λk)dk
- 设λ∈specC(A), 则JA中至少有一个关于λ的Jordan块
- λ的代数重数等于λ在JA主对角线上出现的次数;λ的几何重数等于关于λ的Jordan块在JA中出现的次数
- λ在极小多项式中的重数等于JA中关于λ的Jordan块出现的最大阶数
- A可对角化当且仅当d1=⋯=dk=1
例子
例1
设α∈C,
A=α0α0α000α
则可以直接计算χA=(t−α)3, 故特征值为α, 代数重数为3, 而且
rank(A−αE)=rank00α000000
当α=0时, dim(Vα)=3−rank(A−αE)=2, 故α几何重数为2
于是由上面的性质(4)就有
A∼JA=(J2(α)OOJ1(α))=α001α000α
当α=0时, dim(Vα)=3−0=3, 几何重数为3, 故而
A∼J1(α)000J1(α)000J1(α)=O3×3
例2
已知复方阵A的特征多项式和极小多项式分别为
χAμA=(t−1)4(t+1)3t2=(t−1)3(t+1)3t2
对于特征值1, 其代数重数为4, 由性质(4)知1在对角线上出现了4次;而由于t−1在μA中的重数为3, 由性质(5)知存在一个J3(1), 且这是最大的1的Jordan块.
所以只能有一种情况, 就是存在两个关于1的Jordan块J3(1),J1(1), 特征值1的几何重数为2
对于特征值−1和0, 同理知道它们对应的Jordan块只能是J3(−1);J2(0)
综上
A∼diag(J1(1),J3(1),J3(−1),J2(0))