Jordan Canonical Form

$\mathbb{C}$上的Jordan标准型

Jordan块

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则$V$是$\mathcal{A}$-不可分的当且仅当存在$\lambda \in \mathbb{C}$使得极小多项式${\mu }_{\mathcal{A}}=(t-\lambda {)}^n$. 此时，$\mathcal{A}$在$V$的某组基下的矩阵是

$$J_n(\lambda )=\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& \lambda & \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \lambda & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& \lambda \end{array}\right)$$

我们称此矩阵为关于$\lambda$的$n$阶Jordan块

变换为Jordan块的矩阵

事实上，满足$P^{-1}AP=J_n(\lambda )$的那个转移矩阵$P$为

$$P=({\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_n)$$

其中${\mathbf{ϵ}}_j=(\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E}{)}^{n-j}(\mathbf{v})$，且$\mathbf{v}$满足$V=F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$. 或者说$\mathbf{v}\in K_{\lambda }$是特征值$\lambda$对应的一个广义特征向量，而${\mathbf{ϵ}}_1,\dots ,{\mathbf{ϵ}}_n$代表了$\mathbf{v}$的一个广义特征向量循环

由矩阵的基底变换可知有$J_n(\lambda )=P^{-1}AP⟹A=P{J}_n(\lambda )P^{-1}$

Jordan块的基本性质

Jordan块的基本性质如下

1. 如果$\lambda \ne 0$,则$\mathrm{rank}(J_n(\lambda ))=n$，而$\mathrm{rank}(J_n(0))=n-1$
2. $J_n(\lambda )=\lambda E_n+J_n(0)$
3. $J_n(\lambda )$的极小多项式和特征多项式都等于$(t-\lambda {)}^n$，从而把$J_n(\lambda )$看成${\mathbb{C}}^n$上的算子后，${\mathbb{C}}^n$是$J_n(\lambda )$-循环的
4. $J_n(\lambda )$的唯一特征值为$\lambda$，从而对应的特征子空间的维数为$1$，这是因为

$$J_n(\lambda )-\lambda E_n=J_n(0)$$

于是

$$\begin{array}{rl}{J}_n(\lambda )\mathbf{v}& =\lambda \mathbf{v}⟹J_n(0)\mathbf{v}=0\\ ⟹\dim V^{\lambda }& =\dim \ker J_n(0)=n-(n-1)=1\end{array}$$

5. $J_n(\lambda )$可对角化当且仅当$n=1$
6. $J_n^t(\lambda )=B^{-1}{J}_n(\lambda )B=B{J}_n(\lambda )B^{-1}$，其中

$$B=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \cdots \\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

Jordan块的幂

Jordan块可以写成如下形式

$$J=\lambda E+N$$

其中

$$N=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

由$\lambda E$和$N$的可交换性以及二项式定理可以给出

$$J_k(\lambda {)}^n=(\lambda E+N{)}^n=\sum _{r=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right){\lambda }^{n-r}{N}^r=\sum _{r=0}^{\min (n,k-1)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right){\lambda }^{n-r}{N}^r$$

也就是

$$J_k(\lambda {)}^n=\left(\begin{array}{cccccc}{\lambda }^n& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right){\lambda }^{n-1}& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right){\lambda }^{n-2}& \cdots & \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right){\lambda }^{n-k+1}\\ & {\lambda }^n& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right){\lambda }^{n-1}& \cdots & \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-2}\right){\lambda }^{n-k+2}\\ & & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & & {\lambda }^n& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right){\lambda }^{n-1}\\ & & & & & {\lambda }^n\end{array}\right)$$

Jordan标准型的形式

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则$\mathcal{A}$在$V$的某组基下的矩阵是

$$\left(\begin{array}{cccc}{J}_{d_1}({\lambda }_1)& O& \cdots & O\\ O& J_{d_2}({\lambda }_2)& \cdots & O\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ O& O& \cdots & J_{d_k}({\lambda }_k)\end{array}\right)$$

其中$d_1,\dots ,d_k\in {\mathbb{N}}^{\ast },{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\in \mathbb{C}$，都不必两两不同

这是因为总可以作循环子空间分解使得

$$V=W_1\oplus \cdots \oplus W_k$$

其中$W_i$是$\mathcal{A}$-循环且$\mathcal{A}$-不可分的，由不可分子空间的性质得到${\mu }_{W_i}$一定是$\mathbb{C}[t]$的重某个不可约多项式的幂次，而由代数基本定理$\mathbb{C}[t]$中的不可约多项式总是一次的，故可设${\mu }_{W_i}=(t-{\lambda }_i{)}^{d_i}$，因为对于循环空间$\mathrm{deg}{\mu }_{W_i}=\mathrm{deg}{\chi }_{W_i}=d_i$. 所以由Jordan块的定义就可知${\mathcal{A}}_{W_i}$在$W_i$的某组基下的矩阵是$J_{d_i}({\lambda }_i)$

我们称上面的矩阵为$\mathcal{A}$的一个Jordan标准型，其基本性质如下

1. $\mathrm{rank}(J_A)={\sum }_{i=1}^k\mathrm{rank}(J_{d_i}({\lambda }_i))$
2. $J_A$的（也是$A$的）极小多项式为

$$\mathrm{lcm}((t-{\lambda }_1{)}^{d_1},\dots ,(t-{\lambda }_k{)}^{d_k})$$

特征多项式为

$$(t-{\lambda }_1{)}^{d_1}\cdots (t-{\lambda }_k{)}^{d_k}$$

3. 设$\lambda \in {\mathrm{spec}}_{\mathbb{C}}(\mathcal{A})$，则$J_A$中至少有一个关于$\lambda$的Jordan块
4. $\lambda$的代数重数等于$\lambda$在$J_A$主对角线上出现的次数；$\lambda$的几何重数等于关于$\lambda$的Jordan块在$J_A$中出现的次数
5. $\lambda$在极小多项式中的重数等于$J_A$中关于$\lambda$的Jordan块出现的最大阶数
6. $A$可对角化当且仅当$d_1=\cdots =d_k=1$

例子

例1

设$\alpha \in \mathbb{C}$,

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 0& 0\\ 0& \alpha & 0\\ \alpha & 0& \alpha \end{array}\right)$$

则可以直接计算${\chi }_A=(t-\alpha {)}^3$，故特征值为$\alpha$，代数重数为$3$，而且

$$\mathrm{rank}(A-\alpha E)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \alpha & 0& 0\end{array}\right)$$

当$\alpha \ne 0$时，$\dim (V^{\alpha })=3-\mathrm{rank}(A-\alpha E)=2$，故$\alpha$几何重数为$2$ 于是由上面的性质$(4)$就有

$$A\sim J_A=\left(\begin{array}{cc}{J}_2(\alpha )& O\\ O& J_1(\alpha )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 1& 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& \alpha \end{array}\right)$$

当$\alpha =0$时，$\dim (V^{\alpha })=3-0=3$，几何重数为$3$，故而

$$A\sim \left(\begin{array}{ccc}{J}_1(\alpha )& 0& 0\\ 0& J_1(\alpha )& 0\\ 0& 0& J_1(\alpha )\end{array}\right)=O_{3\times 3}$$

例2

已知复方阵$A$的特征多项式和极小多项式分别为

$$\begin{array}{rl}{\chi }_A& =(t-1{)}^4(t+1{)}^3{t}^2\\ {\mu }_A& =(t-1{)}^3(t+1{)}^3{t}^2\end{array}$$

对于特征值$1$，其代数重数为$4$，由性质$(4)$知$1$在对角线上出现了$4$次；而由于$t-1$在${\mu }_A$中的重数为$3$，由性质$(5)$知存在一个$J_3(1)$，且这是最大的$1$的Jordan块. 所以只能有一种情况，就是存在两个关于$1$的Jordan块$J_3(1),J_1(1)$，特征值$1$的几何重数为$2$

对于特征值$-1$和$0$，同理知道它们对应的Jordan块只能是$J_3(-1);J_2(0)$

综上

$$A\sim \mathrm{diag}(J_1(1),J_3(1),J_3(-1),J_2(0))$$