一般方法

给定一个上的线性空间和一个定义在其上的线性算子, 我们可以对不可分子空间直和分解

其中每一个都是-不可分子空间, 这个性质等价于一下两条的联立:

  1. -循环子空间
  2. 为把的定义域限制在上的新算子, 则极小多项式中某个不可约多项式的幂次

我们称这里的每一个的一个初等因子, 这些是可以重复的, 所以我们通过一个重集来将这些初等因子放在一起, 称为关于上述不可分因子直和分解的初等因子组, 记为

考虑每一个初等因子, 其中中的一个不可约元, 它们都对应着一个Jordan块, 其中Jordan块的大小就是在该初等因子中的重数, 而则是的解. 如果不唯一或者不存在, 我们这样的的Jordan标准型就有可能不存在, 具体细节不在此讨论

假设相同的初等因子在初等因子组中出现了次, 在最后的Jordan标准型也就相应地出现了

把这些在对角线上排列后(无所谓顺序)得到的大矩阵就是的Jordan标准型, 也就是

所以要计算Jordan标准型, 关键就是要确定这些初等因子, 也就是

  1. 有哪些可能的初等因子
  2. 每一种初等因子分别出现了几次

对第一个问题, 我们只需要计算对应的矩阵表示特征多项式, 根据Hamilton-Cayley定理加强版, 的特征多项式和极小多项式具有相同的不可约因子, 而由于, 所以的全部不可约因子都可以在中找到, 且中的每一个不可约因子都是某个的不可约因子

对于第二个问题, 如果我们已经找到了所有可能的, 我们就可以利用一个递推公式来计算在初等因子组中出现的次数

我们设从找到的所有不可约因子为, 且设, 那么在初等因子组中出现的次数

其中, 这给出了计算Jordan标准型的一般方法

复数域的情况

我们来具体讨论复数域上的特例, 因为中的不可约因子都是一次的, 所以这时候初等因子的形式为, 其中, 这是因为是循环空间, 所以特征多项式相同, 又的次数等于的维数, 所以

对于每一个特征根, 出现的次数为

其中.

利用更多的信息

上面的计算对于高阶矩阵来说比较麻烦, 所以我们考虑是否有其他的信息能帮助我们更方便地确定Jordan标准型的形式

我们可以直接从的矩阵表示求出, 上面的标准算法中我们只利用了的不可约因子, 而没有利用它们对于的重数(也就是所谓的代数重数), 考虑所有初等因子的乘积

由于都是循环的, 所以, 根据直和的性质, 我们知道, 而又由于, 所以, 这两者又恰好维数相等, 故而

这说明了中每个不可约因子的重数就是每个的Jordan块的大小的和, 也就是对应的在Jordan标准型的对角线上出现的次数

如果我们还知道极小多项式, 我们就得到了每一个中的重数, 事实上, 由于, 故我们有

从而如果某个的重数, 那么必然存在一个初等因子

以上两个新增信息可以帮我们快速确定一些矩阵的Jodran标准型, 例如

已知复方阵的特征多项式和极小多项式分别为

对于特征值, 其代数重数为, 则知在对角线上出现了次;而由于中的重数为, 则知存在一个, 且这是最大的的Jordan块

所以只能有一种情况, 就是存在两个关于的Jordan块

对于特征值, 同理知道它们对应的Jordan块只能是

综上