Jordan Canonical Form Life Saver

一般方法

给定一个$F$上的线性空间$V$和一个定义在其上的线性算子$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，我们可以对$V$作不可分子空间直和分解

$$V=W_1\oplus \cdots \oplus W_k$$

其中每一个$W_i$都是$\mathcal{A}$-不可分子空间，这个性质等价于一下两条的联立：

1. $W_i$是$\mathcal{A}$-循环子空间
2. 设${\mathcal{A}}_i={\mathcal{A}}_{W_i}$为把$\mathcal{A}$的定义域限制在$W_i$上的新算子，则${\mathcal{A}}_i$的极小多项式${\mu }_i={\mu }_{{\mathcal{A}}_i}$是$F[t]$中某个不可约多项式的幂次

我们称这里的每一个${\mu }_i$为$\mathcal{A}$的一个初等因子，这些${\mu }_i$是可以重复的，所以我们通过一个重集来将这些初等因子放在一起，称为$\mathcal{A}$关于上述不可分因子直和分解的初等因子组，记为$\left\{{\mu }_1,\dots ,{\mu }_k\right\}$

考虑每一个初等因子$p^m$，其中$p$是$F[t]$中的一个不可约元，它们都对应着一个Jordan块$J_m(\lambda )$，其中Jordan块的大小$m$就是$p$在该初等因子中的重数，而$\lambda$则是$p(\lambda )=0$的解. 如果$\lambda$不唯一或者不存在，我们这样的$\mathcal{A}$的Jordan标准型就有可能不存在，具体细节不在此讨论

假设相同的初等因子$p^m$在初等因子组中出现了$n$次，在最后的Jordan标准型中$J_m(\lambda )$也就相应地出现了$n$次

把这些$J_n(\lambda )$在对角线上排列后（无所谓顺序）得到的大矩阵就是$\mathcal{A}$的Jordan标准型$J_A$，也就是

$$J_A=\mathrm{diag}(J_{n_1}({\lambda }_1),\dots ,J_{n_k}({\lambda }_k))$$

所以要计算Jordan标准型，关键就是要确定这些初等因子，也就是

1. 有哪些可能的初等因子$p^m$
2. 每一种初等因子分别出现了几次

对第一个问题，我们只需要计算$\mathcal{A}$对应的矩阵表示$A$的特征多项式，根据Hamilton-Cayley定理加强版，$A$的特征多项式和极小多项式具有相同的不可约因子，而由于${\mu }_{{\mathcal{A}}_i}|{\mu }_{\mathcal{A}}$，所以${\mu }_i={\mu }_{{\mathcal{A}}_i}$的全部不可约因子都可以在${\chi }_A$中找到，且${\chi }_A$中的每一个不可约因子都是某个${\mu }_i$的不可约因子

对于第二个问题，如果我们已经找到了所有可能的$p$，我们就可以利用一个递推公式来计算$p^m$在初等因子组中出现的次数

我们设从${\chi }_A$找到的所有不可约因子为$p_1,\dots ,p_s$，且设$\mathrm{deg}{p}_i=d_i$，那么$p_i^{\ell }$在初等因子组中出现的次数$N(i,\ell )$为

$$N(i,\ell )=\frac{1}{d_i}\left(R(i,\ell -1)+R(i,\ell +1)-2R(i,\ell )\right)$$

其中$R(i,j)=\mathrm{rank}(p_i^j(\mathcal{A})),j\in \mathbb{N}$，这给出了计算Jordan标准型的一般方法

复数域的情况

我们来具体讨论复数域上的特例，因为$\mathbb{C}[t]$中的不可约因子都是一次的，所以这时候初等因子的形式为${\mu }_i=(t-{\lambda }_i{)}^{m_i}$，其中$m_i=\dim (W_i)$，这是因为$W_i$是循环空间，所以${\mu }_i$和${\mathcal{A}}_i$的特征多项式${\chi }_i$相同，又${\chi }_A$的次数等于$W_i$的维数，所以$\mathrm{deg}({\mu }_i)=\dim (W_i)$

对于每一个特征根${\lambda }_i$，$(t-{\lambda }_i{)}^{\ell }$出现的次数为

$$N(i,\ell )=R(i,\ell -1)+R(i,\ell +1)-2R(i,\ell )$$

其中$R(i,j)=\mathrm{rank}((A-{\lambda }_{i}E{)}^j)$.

利用更多的信息

上面的计算对于高阶矩阵来说比较麻烦，所以我们考虑是否有其他的信息能帮助我们更方便地确定Jordan标准型的形式

我们可以直接从$\mathcal{A}$的矩阵表示求出${\chi }_{\mathcal{A}}$，上面的标准算法中我们只利用了${\chi }_A$的不可约因子，而没有利用它们对于的重数（也就是所谓的代数重数），考虑所有初等因子的乘积

$$p_{\mu }={\mu }_1\cdots {\mu }_n$$

由于$W_i$都是循环的，所以$\mathrm{deg}({\mu }_i)=\mathrm{deg}({\chi }_i)=\dim (W_i)$，根据直和的性质，我们知道$\mathrm{deg}(p_{\mu })=\sum _i\mathrm{deg}({\mu }_i)=\sum _i\dim (W_i)=\dim (V)=\mathrm{deg}({\chi }_{\mathcal{A}})$，而又由于${\mu }_i\mid {\mu }_{\mathcal{A}}={\chi }_{\mathcal{A}}$，所以$p_{\mu }\mid {\chi }_{\mathcal{A}}$，这两者又恰好维数相等，故而

$${\chi }_{\mathcal{A}}={\mu }_1\cdots {\mu }_n$$

这说明了${\chi }_{\mathcal{A}}$中每个不可约因子$(t-{\lambda }_i)$的重数就是每个${\lambda }_i$的Jordan块的大小的和，也就是对应的${\lambda }_i$在Jordan标准型的对角线上出现的次数

如果我们还知道极小多项式${\mu }_{\mathcal{A}}$，我们就得到了每一个$p=t-\lambda$在${\mu }_{\mathcal{A}}$中的重数，事实上，由于${\mu }_i\mid {\mu }_{\mathcal{A}}$，故我们有

$${\mu }_{\mathcal{A}}=\mathrm{lcm}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)$$

从而如果某个$t-\lambda$在${\mu }_{\mathcal{A}}$的重数$m$，那么必然存在一个初等因子$(t-\lambda {)}^m$

以上两个新增信息可以帮我们快速确定一些矩阵的Jodran标准型，例如

已知复方阵$A$的特征多项式和极小多项式分别为

$$\begin{array}{rl}{\chi }_A& =(t-1{)}^4(t+1{)}^3{t}^2\\ {\mu }_A& =(t-1{)}^3(t+1{)}^3{t}^2\end{array}$$

对于特征值$1$，其代数重数为$4$，则知$1$在对角线上出现了$4$次；而由于$t-1$在${\mu }_A$中的重数为$3$，则知存在一个$J_3(1)$，且这是最大的$1$的Jordan块

所以只能有一种情况，就是存在两个关于$1$的Jordan块$J_3(1),J_1(1)$

对于特征值$-1$和$0$，同理知道它们对应的Jordan块只能是$J_3(-1);J_2(0)$

综上

$$A\sim \mathrm{diag}(J_1(1),J_3(1),J_3(-1),J_2(0))$$