Unique Factorization Domain, UFD

记号: 设$D$是整环. 则$D^{\ast }=D\backslash \{0\}$ 且$U_D$是$D$中所有可逆元的集合.

唯一因子分解整环

不可约元和素元

不可约元

设$a\in D^{\ast }$不可逆. 如果不存在非可逆元$b,c\in D^{\ast }\text{ s.t. }a=bc$, 则称$a$为不可约元 一个等价的定义是, 若不可逆元$a=bc$, 则$b,c$中有可逆元

反之, 若$a$不是不可约元, 则必然存在非可逆元$b,c\in D^{\ast }\text{ s.t. }a=bc$

设$a,b\in D$且$a\approx b$, 则$a$不可约当且仅当$b$不可约. 设$a,b\in D$是不可约元, 如果$a|b$, 则$a\approx b$

例子: $\mathbb{Z}$中的不可约元是所有的素数和它们的相反数 $\mathbb{C}[x]$中的不可约元是所有的一次多项式（代数基本定理） $\mathbb{R}[x]$中的不可约元的次数不大于$2$ $F[x]$中的不可约元就是其中的不可约多项式

素元

设$p\in D^{\ast }$不可逆. 如果对于$\forall a,b\in D^{\ast }$

$$p|ab⟹p|a\vee p|b$$

则称$p$是素元

设$a,b\in D$且$a\approx b$, 则$a$是素元当且仅当$b$是素元 设$p\in D$是素元, $a_1,\cdots ,a_n\in D$. 如果$p|a_1\cdots a_n$, 则存在$i\in \{1,\cdots ,n\}\text{ s.t. }p|a_i$

引理: 整环中的素元都是不可约元 反例: 整环中的不可约元不一定是素元, 如在$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ (环中元素形如$a+b\sqrt{-5};a,b\in \mathbb{Z}$) 中

$$6=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})=2\cdot 3$$

显然$2,3$是不可约元, 但不是素元 引理: 在$\mathbb{Z}$和$F[x]$中, 不可约元都是素元

注意: 不可约元的相伴依然是不可约元, 素元的相伴依旧是素元

唯一因子分解整环

不可约分解

设$a\in D^{\ast }$是不可逆元. 如果存在不可约元$p_1,\cdots ,p_n$使得

$$a=p_1\cdots p_n$$

则称$a$有不可约分解. 上式则称为$a$的一个不可约分解 每一个绝对值大于$1$的整数都有不可约分解

例子: 设$f\in F[x]\backslash F$, 则$f$有不可约分解 证明: 设$n=\mathrm{deg}f$. 对$n$归纳: $n=1$时, $f$是不可约多项式, 结论成立 $n>1$时, 假设结论对任何次数大于零且小于$n$的多项式都成立. 若$f$是不可约的, 结论成立 若$f$可约, 则存在次数为正且小于$n$的多项式使得$f=gh$ （参考此处）, 而由归纳假设可知$g,h$都是若干个不可约多项式之积, 故$f$也是

唯一因子分解整环(UFD)

我们称$D$是唯一因子分解整环(UFD), 如果$D$中的每个非零单位的元素$a$都满足下列两个条件

1. $a$ 可以写成$D$中有限多个不可约元素之积
2. 若$a$有以下两种不可约分解

$$a=p_1\cdots p_m=q_1\cdots q_n$$

则$m=n$且适当调整下标后, 我们有

$$p_1\approx q_1,\cdots ,p_m\approx q_m$$

命题: 设$D$满足上述定义中的条件(i), 则$D$是唯一因子分解整环当且仅当$D$中的不可约元都是素元

在唯一因子分解整环中, 素元就是不可约元, 不可约元就是素元 反之, 如果在一个整环中有不可约元就是素元, 那么这个整环就是一个唯一因子分解整环

命题: 在唯一因子分解整环中, 每个非零非可逆元$a$可以被表示为

$$a=u{p}_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}$$

其中$u\in U_D,p_1,\cdots ,p_k$是两两不相伴的不可约元, 称之为$a$的标准不可约分解 如果还有

$$a=v{q}_1^{n_1}\cdots q_l^{n_l}$$

则有$k=l$且适当调整下标后有$p_i\approx q_i$和$m_i=n_i$

例: $44=2^2\cdot 11=-(-2{)}^2\cdot (-11)$

算术基本定理

设$n\in \mathbb{N}\backslash \{0,1,-1\}$. 则存在唯一的两两不同的素数$p_1,p_2,\cdots ,p_m$和正整数$i_1,i_2,\cdots ,i_m$使得

$$n=\pm p_1^{i_1}\cdots p_m^{i_m}$$