定义
循环子空间
设A∈L(V)和v∈V. 由v,A(v),A2(v),…生成的子空间被称为由A和v生成的循环子空间. 记为F[A]⋅v, 或者表示成线性轨道的形式[v]
循环子空间包含了任意A的多项式在v上的作用, 也就是说F[A]⋅v={p(A)(v)∣p(t)∈F[t]}
特别地, 如果v是A的特征向量, 则有F[A]⋅v=[v]=⟨v⟩
循环空间和循环算子
设A∈L(V),v∈V. 如果V=F[A]⋅v, 则称A是V上的循环算子, v是V中的循环向量, V是关于A,v的循环空间, 简称 A-循环空间
我们可以用任意的A∈L(V),v∈V生成一个循环子空间, 当我们选择一个合适的v使得这个循环子空间就是V本身时, 我们才能称V是A-循环空间
极小多项式的构造
极小多项式→线性算子
我们将说明, 任何一个首一多项式都可以是某一个线性算子T的极小多项式
设p(t)=tn+an−1tn−1+⋯+a1t+a0∈F[t]. 令V=Fn的标准基为e1,…,en, 考虑下述线性映射
Tp:Vei→V→Tp(ei)
其中
Tp(ei)={ei+1,−a0e1−⋯−an−1en,1≤i≤n−1i=n
于是有
p(Tp)e1=(Tpn+an−1Tpn−1+⋯+a1Tp+a0)e1=Tpen+aj−1en+an−2en−1+⋯+a1e2+e0e1=0
同理有p(Tp)e2=p(Tp)Tpe1=Tpp(Tp)e1=0, 于是p(Tp)ei=0,∀1≤i≤n, 这说明p是Tp的一个零化多项式, 那么便有μTp∣p
另一方面, 我们又有V=[e1]=F[Tp]⋅e1, 所以Tp零化e1的极小多项式的次数是dimV=n. 又因为μTp,e1∣μTp, 故有degμTp≥n, 于是只能有p=μTp
线性算子→极小多项式
如果n维线性空间V是T-循环的, 设V=F[T]⋅v, 则
V=⟨v,Tv,T2v,…⟩
因为n=dim(V)是有限的, 则必然存在一个i使得
Tiv∈⟨v,Tv,…,Ti−1v⟩
于是
Ti+1v∈⟨v,Tv,…,Tiv⟩=⟨v,Tv,…,Ti−1v⟩
同样对任意k≥i有Tkv∈⟨v,Tv,…,Ti−1v⟩, 结合V的维数是n, 所以
V=⟨v,Tv,…,Tn−1v⟩
那么Tnv必然是上述基底的线性组合, 将其写作
Tnv=−a0v−a1Tv−⋯−an−1Tn−1v
其系数对应的多项式
p(t)=tn+an−1tn−1+⋯+a1t+a0∈F[t]
自然就是T的极小多项式, 也就是说T的极小多项式是它的友阵(Frobenius块)
F=010⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮1−a0−a1−a2⋮−an−1
的特征多项式
性质
极小多项式
在上面已经构造出了μA=p(t)的形式, 可知dim(μA)=n=dim(χA), 又因为μA∣χA, 所以就有μA=χA, 也就是A的首一极小多项式等于它的特征多项式
相反, 如果μA=χA, 也可以推出V是A-循环的.
不变子空间
F[A]⋅v是A-不变的, 因为F[A]⋅v自然包含了所有对A的多项式作用的结果, 它自然是A封闭的
循环空间的所有不变子空间都是循环空间.
维数
循环子空间的维数和A的零化v的极小多项式的次数一致, 即dim(F[A]⋅v)=degμA,v
如果V=F[A]⋅v是循环空间, 则dim(V)=degμA,v, 又degμA≤degχA=dim(V)且μA,v∣μA⟹deg(μA,v)≤deg(μA), 故有dim(V)=degμA,v=degμA, 且μA,v=μA
反过来, 若设d=degμA则存在v∈V使得
dim(F[A]⋅v)=d
且不存在维数大于d的A-循环子空间, 也就是说, 有A,v生成的循环子空间的最大维数就是A的极小多项式的次数
循环子空间分解
设A∈L(V), 则存在
v1,…,vℓ∈V\{0}
使得
V=(F[A]⋅v1)⊕⋯⊕(F[A]⋅vℓ)
其中Wi=F[A]⋅vi都是A-不可分的.
循环定理
下面证明若V是T-循环空间, 那么对于V的每一个T-子空间W, 存在μT的一个因子f使得W=kerf
设V=F[T]⋅v是n维循环空间, 且有极小多项式μT
考虑μT的每一个首一的多项式因子f, 设fg=μT, 则有f(T)g(T)v=0, 于是g(T)v∈kerf(T), 进一步得到[g(T)v]=F[T]⋅g(T)v⊂kerf(T).
由循环子空间的维数性质,
dim[g(T)v]=degμT,g(T)v
和零化某个向量的极小多项式的多项式变换性质
μT,v⟹μT,v⟹n=μT,g(T)v⋅gcd(g,μT,v)=μT,g(T)v⋅gcd(g,μT)=degμT,g(T)v⋅degg
则有
dim[g(T)v]=degf
同理有
dim[f(T)v]=degg
于是
dimkerf(T)=dimV−dimf(T)V=n−dim[f(T)v]=n−degg=degf=dim[g(T)v]
所以[g(T)v]=kerf(T)
再利用一次零化某个向量的极小多项式的多项式变换性质, 我们有
μT∣kerf(T)=μT∣[g(T)v]=μT,g(T)v=gcd(μT,g)μT=gμT=f(1)
设W是T-不变子空间, 那么由零化某向量的极小多项式总存在“同归于尽”向量, 存在w∈W满足μT∣W=μT∣W,w, 设μT=fμT∣W, 利用上面证明的结论(1)就有
[w]⊂W⊂kerμT∣W=kerμT∣W,w=[f(T)v]
继续利用多项式变换性质, 得到μT,f(T)v=gcd(μT,f)μT=fμT=μT∣W, 于是有
dim[f(T)v]=degμT,f(T)v=degμT∣W=degμT∣W,w=dim[w]
于是就有
W=[f(T)v]
是循环空间
Hamilton-Cayley定理加强版
设A∈L(V), 则
- χA(A)=O, 即μA(t)∣χA(t)
- χA(t)在F[t]的不可约因子都是μA(t)的因子, 也就是说, 这两个多项式的根都是一样的
其中2.可具体为L设A∈L(V), μA=p1m1⋯psms是μA在F[t]中的不可约分解, 则χA在F[t]中的不可约分解为
其中m1≤n1,…,ms≤ns且n1deg(p1)+⋯+nsdeg(ps)=n