Cyclic Subspace

定义

循环子空间

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$和$\mathbf{v}\in V$. 由$\mathbf{v},\mathcal{A}(\mathbf{v}),{\mathcal{A}}^2(\mathbf{v}),\dots$生成的子空间被称为由$\mathcal{A}$和$\mathbf{v}$生成的循环子空间. 记为$F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$，或者表示成线性轨道的形式$[\mathbf{v}]$

循环子空间包含了任意$\mathcal{A}$的多项式在$\mathbf{v}$上的作用，也就是说$F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}=\left\{p(\mathcal{A})(\mathbf{v})\mid p(t)\in F[t]\right\}$

特别地，如果$\mathbf{v}$是$\mathcal{A}$的特征向量，则有$F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}=[\mathbf{v}]=⟨\mathbf{v}⟩$

循环空间和循环算子

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),\mathbf{v}\in V$. 如果$V=F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$，则称$\mathcal{A}$是$V$上的循环算子，$\mathbf{v}$是$V$中的循环向量，$V$是关于$\mathcal{A},\mathbf{v}$的循环空间，简称 $\mathcal{A}$-循环空间

Tip

我们可以用任意的$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),\mathbf{v}\in V$生成一个循环子空间，当我们选择一个合适的$\mathbf{v}$使得这个循环子空间就是$V$本身时，我们才能称$V$是$\mathcal{A}$-循环空间

极小多项式的构造

极小多项式$\to$线性算子

我们将说明，任何一个首一多项式都可以是某一个线性算子$T$的极小多项式

设$p(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_0\in F[t]$. 令$V=F^n$的标准基为${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$，考虑下述线性映射

$$\begin{array}{rl}{T}_p:V& \to V\\ {\mathbf{e}}_i& \to T_p({\mathbf{e}}_i)\end{array}$$

其中

$$T_p({\mathbf{e}}_i)=\{\begin{array}{ll}{\mathbf{e}}_{i+1},& 1\le i\le n-1\\ -a_0{\mathbf{e}}_1-\cdots -a_{n-1}{\mathbf{e}}_n,& i=n\end{array}$$

于是有

$$\begin{array}{rl}p(T_p){\mathbf{e}}_1& =(T_p^n+a_{n-1}{T}_p^{n-1}+\cdots +a_1{T}_p+a_0){\mathbf{e}}_1\\ & =T_p{\mathbf{e}}_n+a_{j-1}{\mathbf{e}}_n+a_{n-2}{\mathbf{e}}_{n-1}+\cdots +a_1{\mathbf{e}}_2+e_0{\mathbf{e}}_1=0\end{array}$$

同理有$p(T_p){\mathbf{e}}_2=p(T_p)T_p{\mathbf{e}}_1=T_{p}p(T_p){\mathbf{e}}_1=0$，于是$p(T_p){\mathbf{e}}_i=0,\forall 1\le i\le n$，这说明$p$是$T_p$的一个零化多项式，那么便有${\mu }_{T_p}\mid p$

另一方面，我们又有$V=[{\mathbf{e}}_1]=F[T_p]\cdot {\mathbf{e}}_1$，所以$T_p$零化${\mathbf{e}}_1$的极小多项式的次数是$\dim V=n$. 又因为${\mu }_{T_p,{\mathbf{e}}_1}\mid {\mu }_{Tp}$，故有$\mathrm{deg}{\mu }_{T_p}\ge n$，于是只能有$p={\mu }_{T_p}$

线性算子$\to$极小多项式

如果$n$维线性空间$V$是$T$-循环的，设$V=F[T]\cdot \mathbf{v}$，则

$$V=⟨\mathbf{v},T\mathbf{v},T^2\mathbf{v},\dots ⟩$$

因为$n=\dim (V)$是有限的，则必然存在一个$i$使得

$$T^i\mathbf{v}\in ⟨\mathbf{v},T\mathbf{v},\dots ,T^{i-1}\mathbf{v}⟩$$

于是

$$T^{i+1}\mathbf{v}\in ⟨\mathbf{v},T\mathbf{v},\dots ,T^i\mathbf{v}⟩=⟨\mathbf{v},T\mathbf{v},\dots ,T^{i-1}\mathbf{v}⟩$$

同样对任意$k\ge i$有$T^k\mathbf{v}\in ⟨\mathbf{v},T\mathbf{v},\dots ,T^{i-1}\mathbf{v}⟩$，结合$V$的维数是$n$，所以

$$V=⟨\mathbf{v},T\mathbf{v},\dots ,T^{n-1}\mathbf{v}⟩$$

那么$T^n\mathbf{v}$必然是上述基底的线性组合，将其写作

$$T^n\mathbf{v}=-a_0\mathbf{v}-a_{1}T\mathbf{v}-\cdots -a_{n-1}{T}^{n-1}\mathbf{v}$$

其系数对应的多项式

$$p(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_0\in F[t]$$

自然就是$T$的极小多项式，也就是说$T$的极小多项式是它的友阵(Frobenius块)

$$F=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right)$$

的特征多项式

性质

极小多项式

在上面已经构造出了${\mu }_{\mathcal{A}}=p(t)$的形式，可知$\dim ({\mu }_{\mathcal{A}})=n=\dim ({\chi }_{\mathcal{A}})$，又因为${\mu }_{\mathcal{A}}\mid {\chi }_{\mathcal{A}}$，所以就有${\mu }_{\mathcal{A}}={\chi }_{\mathcal{A}}$，也就是$\mathcal{A}$的首一极小多项式等于它的特征多项式

相反，如果${\mu }_{\mathcal{A}}={\chi }_{\mathcal{A}}$，也可以推出$V$是$\mathcal{A}$-循环的.

不变子空间

$F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$是$\mathcal{A}$-不变的，因为$F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$自然包含了所有对$\mathcal{A}$的多项式作用的结果，它自然是$\mathcal{A}$封闭的

循环空间的所有不变子空间都是循环空间.

维数

循环子空间的维数和$\mathcal{A}$的零化$\mathbf{v}$的极小多项式的次数一致，即$\dim (F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v})=\mathrm{deg}{\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}$

如果$V=F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v}$是循环空间，则$\dim (V)=\mathrm{deg}{\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}$，又$\mathrm{deg}{\mu }_{\mathcal{A}}\le \mathrm{deg}{\chi }_{\mathcal{A}}=\dim (V)$且${\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}\mid {\mu }_{\mathcal{A}}⟹\mathrm{deg}({\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}})\le \mathrm{deg}({\mu }_{\mathcal{A}})$，故有$\dim (V)=\mathrm{deg}{\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}=\mathrm{deg}{\mu }_{\mathcal{A}}$，且${\mu }_{\mathcal{A},\mathbf{v}}={\mu }_{\mathcal{A}}$

反过来，若设$d=\mathrm{deg}{\mu }_{\mathcal{A}}$则存在$\mathbf{v}\in V$使得

$$\dim (F[\mathcal{A}]\cdot \mathbf{v})=d$$

且不存在维数大于$d$的$\mathcal{A}$-循环子空间，也就是说，有$\mathcal{A},\mathbf{v}$生成的循环子空间的最大维数就是$\mathcal{A}$的极小多项式的次数

循环子空间分解

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，则存在

$${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_{\ell }\in V\backslash \left\{0\right\}$$

使得

$$V=(F[\mathcal{A}]\cdot {\mathbf{v}}_1)\oplus \cdots \oplus (F[\mathcal{A}]\cdot {\mathbf{v}}_{\ell })$$

其中$W_i=F[\mathcal{A}]\cdot {\mathbf{v}}_i$都是$\mathcal{A}$-不可分的.

循环定理

下面证明若$V$是$T$-循环空间，那么对于$V$的每一个$T$-子空间$W$，存在${\mu }_T$的一个因子$f$使得$W=\ker f$

设$V=F[T]\cdot \mathbf{v}$是$n$维循环空间，且有极小多项式${\mu }_T$ 考虑${\mu }_T$的每一个首一的多项式因子$f$，设$fg={\mu }_T$，则有$f(T)g(T)\mathbf{v}=0$，于是$g(T)\mathbf{v}\in \ker f(T)$，进一步得到$[g(T)\mathbf{v}]=F[T]\cdot g(T)\mathbf{v}\subset \ker f(T)$.

由循环子空间的维数性质，

$$\dim [g(T)\mathbf{v}]=\mathrm{deg}{\mu }_{T,g(T)\mathbf{v}}$$

和零化某个向量的极小多项式的多项式变换性质

$$\begin{array}{rl}{\mu }_{T,\mathbf{v}}& ={\mu }_{T,g(T)\mathbf{v}}\cdot \gcd (g,{\mu }_{T,\mathbf{v}})\\ ⟹{\mu }_{T,\mathbf{v}}& ={\mu }_{T,g(T)\mathbf{v}}\cdot \gcd (g,{\mu }_T)\\ ⟹n& =\mathrm{deg}{\mu }_{T,g(T)\mathbf{v}}\cdot \mathrm{deg}g\end{array}$$

则有

$$\dim [g(T)\mathbf{v}]=\mathrm{deg}f$$

同理有

$$\dim [f(T)\mathbf{v}]=\mathrm{deg}g$$

于是

$$\begin{array}{rl}\dim \ker f(T)& =\dim V-\dim f(T)V=n-\dim [f(T)\mathbf{v}]\\ & =n-\mathrm{deg}g=\mathrm{deg}f=\dim [g(T)\mathbf{v}]\end{array}$$

所以$[g(T)\mathbf{v}]=\ker f(T)$

再利用一次零化某个向量的极小多项式的多项式变换性质，我们有

$${\mu }_{T{|}_{\ker f(T)}}={\mu }_{T{|}_{[g(T)\mathbf{v}]}}={\mu }_{T,g(T)\mathbf{v}}=\frac{{\mu }_T}{\gcd ({\mu }_T,g)}=\frac{{\mu }_T}{g}=f\text{\hspace{1em}(1)}$$

设$W$是$T$-不变子空间，那么由零化某向量的极小多项式总存在“同归于尽”向量，存在$\mathbf{w}\in W$满足${\mu }_{T{|}_W}={\mu }_{T{|}_W,\mathbf{w}}$，设${\mu }_T=f{\mu }_{T{|}_W}$，利用上面证明的结论$(1)$就有

$$[\mathbf{w}]\subset W\subset \ker {\mu }_{T{|}_W}=\ker {\mu }_{T{|}_W,\mathbf{w}}=[f(T)\mathbf{v}]$$

继续利用多项式变换性质，得到${\mu }_{T,f(T)\mathbf{v}}=\frac{{\mu }_T}{\gcd ({\mu }_T,f)}=\frac{{\mu }_T}{f}={\mu }_{T{|}_W}$，于是有

$$\dim [f(T)\mathbf{v}]=\mathrm{deg}{\mu }_{T,f(T)\mathbf{v}}=\mathrm{deg}{\mu }_{T{|}_W}=\mathrm{deg}{\mu }_{T{|}_W,\mathbf{w}}=\dim [\mathbf{w}]$$

于是就有

$$W=[f(T)\mathbf{v}]$$

是循环空间

Hamilton-Cayley定理加强版

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$，则

1. ${\chi }_{\mathcal{A}}(\mathcal{A})=\mathcal{O}$，即${\mu }_{\mathcal{A}}(t)\mid {\chi }_{\mathcal{A}}(t)$
2. ${\chi }_A(t)$在$F[t]$的不可约因子都是${\mu }_{\mathcal{A}}(t)$的因子，也就是说，这两个多项式的根都是一样的

其中2.可具体为L设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, ${\mu }_{\mathcal{A}}=p_1^{m_1}\cdots p_s^{m_s}$是${\mu }_{\mathcal{A}}$在$F[t]$中的不可约分解，则${\chi }_{\mathcal{A}}$在$F[t]$中的不可约分解为

其中$m_1\le n_1,\dots ,m_s\le n_s$且$n_1\mathrm{deg}(p_1)+\cdots +n_s\mathrm{deg}(p_s)=n$