Representation of Electromagnetic Waves

定态光波

定态波场

• 空间各点的扰动是同频率的简谐振动
• 波场中各点扰动的振幅不随时间变化, 扰动在空间形成一个稳定的振幅分布
• 光波的传播方程

$$E(x,t)=E_0\cos (kx-\omega t),B(x,t)=B_0\cos (kx-\omega t)$$

符合定态波场的条件

复振幅描述

$$U(p,t)=A(p)\cos [\omega t-\phi (p)]$$

其中$p$为场点, $A(p)$是振幅的空间分布, $\varphi (p)$是相位的空间分布. 上式可用复数表示为

$$\tilde{U}(p,t)=A(p)e^{-\mathrm{i}[\omega t-\phi (p)]}$$

并写成时空分离的形式

$$\tilde{U}(p,t)=A(p)e^{\mathrm{i}\phi (p)}{e}^{-\mathrm{i}\omega t}=\tilde{U}(p)e^{-\mathrm{i}\omega t}$$

其中$\tilde{U}(p)=A(p)e^{\phi (p)}$为复振幅, 同时包含了定态波场中的振幅空间分布和相位的的空间分布

可以把上述表示法拓展到 平面波

$$\tilde{U}(p)=A{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+{\phi }_0)}$$

球面波

$$\tilde{U}(p)=\frac{a}{r}{e}^{\mathrm{i}(kr+{\phi }_0)}$$

波强度

$$I(p)=[A(p){]}^2=\tilde{U}(p)\cdot {\tilde{U}}^{\ast }(p)$$

波前

概念

“波前”一词, 过去人们常指的是一个等相面（波面）, 或走在最前面的波面, 这后一种含义只对冲击波一类非定态波有意义. 今后我们在研究定态光波时, 将用“波前”一词泛指波场中任一曲面, 更多地是指一个平面. 如记录介质感光底片、接收屏幕透明的黑白画面等所在的平面, 或透镜前后的某个平面. 在实际问题中人们有时不必泛地讨论三维波场里复振幅的分布, 也无需追求复杂波场中波面的形状和波线的轨迹, 而只关心某一特定波前上复振幅的二维分布, 一列波携带看许多信息, 如频率, 波长$\lambda$和传播方向（二者包含在波矢$\mathbf{k}$中）, 振幅分布, 相位分布, 传播速度等等. 对于单色的定态波场, 这些信息全部包含在三维的复振幅分布函数中了. 然而通常光学系统中的一个元件只和波场中某个波前打交道, 也就是说, 与它有关的只是这个波前上的信息.

复振幅互为复数共轭的波, 称为共轭波

傍轴条件和远场条件

轴上物点

考虑一个问题, 对于一个点光源, 它发出的球面波在很小的横向线度内和很大的距离外可以被看做平面波, 那么在物理意义上, 点光源距离和波前线度之比究竟要到达什么程度, 才能把球面看做平面波?

设点光源在原点$O$上, 接受平面$x^{\prime }-y^{\prime }$上场点$P$到$z$轴的距离为

$$\rho =\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}$$

设两平面之间距离为$z$, 则场点$P$到物点$O$之间的距离为

$$r=\sqrt{z^2+{\rho }^2}$$

于是在$x^{\prime }-y^{\prime }$面上的球面波前为

$$\tilde{U}(x^{\prime },y^{\prime })=\frac{a}{\sqrt{z^2+{\rho }^2}}\exp \left[\mathrm{i}k\sqrt{z^2+{\rho }^2}\right]$$

若${\rho }^2\ll z^2$, 则可作Taylor展开

$$r=\sqrt{z^2+{\rho }^2}=z(1+\frac{{\rho }^2}{2z^2}-\cdots )$$

代入有

$$\tilde{U}(x^{\prime },y^{\prime })=\frac{a}{z(1+\frac{{\rho }^2}{2z^2})}\exp \left[\mathrm{i}k\left(z+\frac{{\rho }^2}{2z}\right)\right]$$

该分布函数和平面波前主要差别在两个${\rho }^2$因子, 为使得振幅中的${\rho }^2$可忽略需要有

$$z^2\gg {\rho }^2$$

为使得相位中的该项可忽略, 则需

$$\frac{1}{2}k\frac{{\rho }^2}{z}\ll \pi ⟺z\gg \frac{{\rho }^2}{\lambda }$$

这是因为在指数上的相位因子决定了函数的周期性, 每当相位因子改变$\pi$时, 指数函数反号, 这种变化是不可忽略的. 相位因子中只有远小于$\pi$的项才可忽略

上面的第一个条件称为傍轴条件, 它能保证波前上接收到的振幅分布和平面波一样和场点无关. 第二个称为远场条件, 它额能保证波前上接收到的相位分布也具有平面波的特点. 在光学中往往是远场条件比傍轴条件更强

于是, 在满足傍轴条件时, 有

$$\tilde{U}(x^{\prime },y^{\prime })\approx \frac{a}{z}\exp \left[\mathrm{i}k\right(z+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2z}\left)\right]$$

同时满足傍轴条件和远场条件时

$$\tilde{U}(x^{\prime },u^{\prime })=\frac{a}{z}\exp [\mathrm{i}kz]$$

轴外物点

pass

Gaussian 光束

Gaussian 光束 是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束. 许多激光都近似满足高斯光束的条件, 在这种情况中, 激光在光谐振腔中以TEM00波模（横向基模）传播. 当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时, 高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束, 因此, 高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型.

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）. 这个解具有高斯函数的形式, 代表了光束中电场分量的复振幅. 尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分, 研究其中任一个场, 就足以描述波在传播时的性质