Introduction to Geometrical Optics

几何光学的基本定律

几何光学三定律

光线：用一条表示光传播方向的几何线来代表光，称这条几何线为光线

1. 直线传播定律：在均匀介质中光沿直线传播
2. 独立传播定律：不同方向的光线相交，不影响每一条光线的传播
3. 反射、折射定律：在两种介质的界面发生反射和折射 反射光、折射光满足

• 都在入射面（入射光线和界面法线构成的平面），且位于法线两侧
• 反射角等于入射角
• 折射角、入射角正弦之比等于相对折射率（Snell 定律） 折射率
• 相对折射率：$n_{12}=\frac{n_2}{n_1}$
• 绝对折射率：介质对真空的相对折射率$n=\frac{c}{v}$
• 折射定律的Snell公式

$$n_1\sin n_1=n_2\sin n_2$$

变折射率问题

如：机场跑道能看多远 夏日机场跑道上方温度梯度较大，导致空气折射率发生变化

$$n(y)=n_0(1+by)$$

光线方程

$$n_0\sin {\theta }_0=n_1\sin {\theta }_1=\cdots =n_m\sin {\theta }_m$$

连续化

$$n(y)\sin \theta (y)=n_0\sin {\theta }_0$$

规定在原点

$$n_0=1,{\theta }_0=\frac{\pi }{2}$$

几何关系

$$\sin \theta (y)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s},(\mathrm{d}s{)}^2=(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2$$

于是

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\cot \theta =\sqrt{\frac{n^2(y)}{n_0^2{\sin }^2{\theta }_0}-1}\\ & =\sqrt{(1+by{)}^2-1}\approx \sqrt{2by}\\ & ⟹y=\frac{b}{2}{x}^2\end{array}$$

类似现象：海市蜃楼

全反射 (total reflection)

临界角(critical angle): $i_c=\arcsin \frac{n_2}{n_1}$ 应用：

• 全反射棱镜 - 自行车尾灯
• 光纤 (optical fiber) - 光纤的数值孔径

棱镜(Prism) 和 色散(Dispersion)

最小偏向角

$$n=\frac{\sin \frac{\alpha +{\delta }_m}{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}$$

此时光线对称射入射出，入射角为

$$i_0=\arcsin (n\sin \frac{\alpha }{2})$$

色散：不同波长的光因为偏向角不同而分离 - $n$是关于$\lambda$的函数

虹(rainbow) 和 霓(secondary rainbow)

名称	颜色分布	形成原理	亮度
霓	外紫内红	经过水滴两次折射两次反射	弱
虹	外红内紫	经过水滴一次折射一次反射	强

晕 (halo)

$22^{\circ }$晕：六角柱状冰晶横躺着缓慢下降，光在冰晶中的折射最小偏向角为$22^{\circ }$左右，由于不同波长的光波折射率不同，引起色散，在太阳下方的观测者观测到内红外紫的$22^{\circ }$晕 $46^{\circ }$晕：最小偏向角为$46^{\circ }$左右

光的可逆性(reversibility)原理

当光线的方向反转时，光将逆着同一路径传播 汽车贴膜利用的是眼睛的明暗视觉特点，不违反光路可逆原理

Huggens 原理

波的几何描述

• 波线 - 波的能量传播方向
• 波面 - 等相位面

Huggens 原理

波面上的每个点都是次波源 下一个时刻的波面就是次波源面的包络

微粒说对折射的解释

• 光微粒在均匀透明介质中依惯性定理匀速飞行
• 光微粒遇到界面时，切线速度不变
• 反射时，微粒的法向速度象小球反弹一样翻转
• 折射时，界面存在着一种力，光微粒通过界面时，法向速度发生突变（势能不同）

Fermat 原理

光程 (Optical Path)

相同时间内光线在真空中传播的距离

$$L={\int }_{\ell }n\mathrm{d}l$$

Fermat's Principle

$$\delta L=0$$

两点间光线传播的实际路径是光程（或所需时间）为平稳（取极值）的路径