完全正交等方组
设,如果
- 正交性:对任意都有
- 等方性:对任意都有
- 完全性: 则称是完全正交等方组
例如设,其中是子空间,若令是从到的投影映射,则是完全正交等方组
反过来,我们可以证明,如果是完全正交等方组,则有
由正交性和等方性,如果我们再设,则对于任意非负整数都有
谱分解定理
设可对角化,则
- 存在唯一的两两不同,和完全正交等方组满足
- 存在满足,
设σ1,…,σk∈L(V),如果
例如设V=U1⊕⋯⊕Uk,其中U1,…,Uk是子空间,若令πi:V→V是从V到Ui的投影映射,则π1,…,πk是完全正交等方组
反过来,我们可以证明,如果σ1,…,σk∈L(V)是完全正交等方组,则有
V=im(σ1)⊕⋯⊕im(σk)由正交性和等方性,如果我们再设α1,…,αk∈F,则对于任意非负整数m都有
(α1π1+⋯+αkπk)m=α1mπ1+⋯+αkmπk设A∈L(V)可对角化,则