谱分解理论是对线性算子的对角化过程在剔除矩阵表示下的抽象
完全正交等方组
设σ1,…,σk∈L(V), 如果
- 正交性: 对任意i,j∈{1,…,k},i=j都有σi∘σj=O
- 等方性: 对任意i∈{1,…,k}都有σi2=E
- 完全性: σ1+⋯+σk=E
则称σ1,…,σk是完全正交等方组
例如设V=U1⊕⋯⊕Uk, 其中U1,…,Uk是子空间, 若令πi:V→V是从V到Ui的投影映射, 则π1,…,πk是完全正交等方组
反过来, 我们可以证明, 如果σ1,…,σk∈L(V)是完全正交等方组, 则有
V=im(σ1)⊕⋯⊕im(σk)
由正交性和等方性, 如果我们再设α1,…,αk∈F, 则对于任意非负整数m都有
(α1π1+⋯+αkπk)m=α1mπ1+⋯+αkmπk
谱分解定理
设A∈L(V)可对角化, 则
- 存在唯一的λ1,…,λk∈F两两不同, 和完全正交等方组π1,…,πk满足
A=λ1π1+⋯+λkπk
- 存在f1,…,fk∈F[t]满足fi(λj)=δi,j,πi=fi(A), i,j∈{1,2,…,k}