Spectral Decomposition

谱分解理论是对线性算子的对角化过程在剔除矩阵表示下的抽象

完全正交等方组

设${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_k\in \mathcal{L}(V)$, 如果

1. 正交性: 对任意$i,j\in \left\{1,\dots ,k\right\},i\ne j$都有${\sigma }_i\circ {\sigma }_j=\mathcal{O}$
2. 等方性: 对任意$i\in \left\{1,\dots ,k\right\}$都有${\sigma }_i^2=\mathcal{E}$
3. 完全性: ${\sigma }_1+\cdots +{\sigma }_k=\mathcal{E}$ 则称${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_k$是完全正交等方组

例如设$V=U_1\oplus \cdots \oplus U_k$, 其中$U_1,\dots ,U_k$是子空间, 若令${\pi }_i:V\to V$是从$V$到$U_i$的投影映射, 则${\pi }_1,\dots ,{\pi }_k$是完全正交等方组

反过来, 我们可以证明, 如果${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_k\in \mathcal{L}(V)$是完全正交等方组, 则有

$$V=\mathrm{im}({\sigma }_1)\oplus \cdots \oplus \mathrm{im}({\sigma }_k)$$

由正交性和等方性, 如果我们再设${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\in F$, 则对于任意非负整数$m$都有

$$({\alpha }_1{\pi }_1+\cdots +{\alpha }_k{\pi }_k{)}^m={\alpha }_1^m{\pi }_1+\cdots +{\alpha }_k^m{\pi }_k$$

谱分解定理

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$可对角化, 则

1. 存在唯一的${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\in F$两两不同, 和完全正交等方组${\pi }_1,\dots ,{\pi }_k$满足

$$\mathcal{A}={\lambda }_1{\pi }_1+\cdots +{\lambda }_k{\pi }_k$$

2. 存在$f_1,\dots ,f_k\in F[t]$满足$f_i({\lambda }_j)={\delta }_{i,j},{\pi }_i=f_i(\mathcal{A})$, $i,j\in \left\{1,2,\dots ,k\right\}$