定义
设. 如果在的某组基下的矩阵是对角矩阵, 则称是可对角化的(相似对角化). 如果相似于一个对角矩阵, 则称是可对角化的
判别法
个特征向量线性无关(充要)
设和. 则可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量
设. 则可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量, 设它们为. 令. 则是对角矩阵
线性算子可对角化当且仅当在的任何一组基下的矩阵可对角化
个不同的特征根(充分不必要)
设. 如果在中有个不同的根, 则可对角化. 设. 如果在中有个不同的根, 则可对角化
判断重根的技巧
对于一个多项式或者, 如果则说明没有重根. 因为如果有重根, 可以把写成, 则必然有因子, 二者不可能互素
需要注意的是, 如果出现重根, 则需要讨论对应的维数, 也就是要考虑其他判别法了
特征子空间的和(充要)
设且
则可对角化当且仅当
特征子空间的维数和(充要)
设且
则可对角化当且仅当
几何重数等于代数重数(充要)
设, 则可对角化当且仅当
极小多项式可一次分解(充要)
设. 则可对角化当且仅当它的极小多项式在中可以分解为两两互素一次因子之积
当算子或矩阵是通过多项式关系给出时, 这个判别法比较容易应用
对角化结果
如果可对角化, 那么在对作直和分解后得到的一组基下有的矩阵是
这对应了这样的对角化形式
其中, 如果要把写成对角形式我们有变换
若设是上述直和分解从左往右对应的一组基底, 则由矩阵的基底变换可知有