Diagonalization

定义

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 如果$\mathcal{A}$在$V$的某组基下的矩阵是对角矩阵，则称$\mathcal{A}$是可对角化的（相似对角化）. 如果$A\in {\mathrm{M}}_n(F)$相似于一个对角矩阵，则称$A$是可对角化的

判别法

$n$个特征向量线性无关（充要）

设$n=\dim (V)$和$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则$\mathcal{A}$可对角化当且仅当$\mathcal{A}$有$n$个线性无关的特征向量

设$A\in {\mathrm{M}}_n(F)$. 则$A$可对角化当且仅当$A$有$n$个线性无关的特征向量，设它们为${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n$. 令$P=({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$. 则$P^{-1}AP$是对角矩阵

线性算子$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$可对角化当且仅当$\mathcal{A}$在$V$的任何一组基下的矩阵可对角化

$n$个不同的特征根（充分不必要）

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),n=\dim (V)$. 如果${\chi }_A$在$F$中有$n$个不同的根，则$\mathcal{A}$可对角化. 设$\mathcal{A}\in {\mathrm{M}}_n(F)$. 如果${\chi }_A$在$F$中有$n$个不同的根，则$A$可对角化

判断重根的技巧

对于一个多项式$f\in \mathbb{C}[t]$或者$f\in \mathbb{R}[t]$，如果$\gcd (f,f^{\prime })=1$则说明$f$没有重根. 因为如果$f$有重根$a$，可以把$f$写成$f=(t-a{)}^{2}g$，则$f^{\prime }$必然有$(t-a)$因子，二者不可能互素

需要注意的是，如果出现重根，则需要讨论对应$V^{\lambda }$的维数，也就是要考虑其他判别法了

特征子空间的和（充要）

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$且

$${\mathrm{spec}}_F(\mathcal{A})=\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k\}$$

则$\mathcal{A}$可对角化当且仅当$V=V^{{\lambda }_1}+\cdots +V^{{\lambda }_k}$

特征子空间的维数和（充要）

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$且

$${\mathrm{spec}}_F(\mathcal{A})=\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k\}$$

则$\mathcal{A}$可对角化当且仅当$\dim (V)=\dim (V^{{\lambda }_1})+\cdots +\dim (V^{{\lambda }_k})$

几何重数等于代数重数（充要）

设$A\in {\mathrm{M}}_n(F)$, 则$A$可对角化当且仅当

1. ${\chi }_A(t)$在$F[t]$中可以分解为一次因子之积，即${\chi }_A(t)$的所有根都在$F$中（例如如果$F=\mathbb{R}$则${\chi }_A(t)$不能有复根）
2. 对任意$\lambda \in {\mathrm{spec}}_F(A)$，$\lambda$的几何重数等于其代数重数

极小多项式可一次分解（充要）

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$. 则$\mathcal{A}$可对角化当且仅当它的极小多项式${\mu }_{\mathcal{A}}(t)$在$F[t]$中可以分解为两两互素一次因子之积

当算子或矩阵是通过多项式关系给出时，这个判别法比较容易应用

对角化结果

如果$\mathcal{A}$可对角化，那么在对$V$作直和分解$V=V^{{\lambda }_1}\oplus \cdots \oplus V^{{\lambda }_k}$后得到的一组基下有$\mathcal{A}$的矩阵是

$$\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_{1}E& O& \cdots & O\\ O& {\lambda }_{2}E& \cdots & O\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ O& O& \cdots & {\lambda }_{k}E\end{array}\right)$$

这对应了这样的对角化形式

$$\Lambda =\mathrm{diag}(\underset{d_1\text{ times}}{\underbrace{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_1}},\underset{d_2\text{ times}}{\underbrace{{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_2}},\cdots ,\underset{d_k\text{ times}}{\underbrace{{\lambda }_k,\dots ,{\lambda }_k}})$$

其中$d_i=\dim V^{{\lambda }_i}$，如果要把$A$写成对角形式我们有变换

$$A=P^{-1}\Lambda P$$

若设${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$是上述直和分解从左往右对应的一组基底，则由矩阵的基底变换可知有

$$P=({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_n)$$