正规算子和正规矩阵的标准型
设dim(V)=1,则任意的A∈L(V)都是正规算子,这是因为对V中的单位向量v,A(v)=λv,其中λ是某个实数
设dim(V)=2,A∈L(V)正规,且V是A-不可分的(在可分的情形下A可以通过一维形式的直和得到),则A在V的任意单位正交基下的矩阵式
A=(αβ−βα)
其中α,β∈R且β=0
设A∈L(V)正规,则存在V的一组单位正交基e1,…,en和α1,β1,…,αs,βs,λ2s+1,λn∈R,其中β1,…,βs=0,使得A在这组基下的矩阵等于
B=N(α1,β1)⋱N(αs,βs)λ2s+1⋱λn
其中
N(α,β)=(αβ−βα)
也就是说,存在如上这样一个标准型B使得A正交等价于B,即A∼oB,弱化这个结论就是有A相似于B,即A∼sB
设A∈L(V)正规,λ1,λ1∈specR(A),且λ1=λ2,则Vλ1⊥Vλ2. 也就是说,一个正规算子的不同特征值对于的特征子空间两两正交,这是在正规算子情况下,对命题特征子空间的和是直和的一个加强
实对称矩阵的正交标准型
实对称矩阵可正交化
对于实对称矩阵,有如下命题成立
- 设A∈L(V)对称,则A在V的某组正交基下的矩阵是diag(λ1,…,λn),其中λ1,…,λn∈R不必两两不同
- 设A∈SMn(R),则A∼odiag(λ1,…,λn),其中λ1,…,λn∈R不必两两不同,即实对称矩阵是可对角化的
- λ1,…,λn是算子A或者是矩阵A的特征根,特别地,实对称矩阵和欧式空间上的对称算子的特征根都是实数
现在给出求解该对角矩阵的算法
- 计算A的特征根,设互不相同的特征根是λ1,…,λk
- 对i∈{1,2,…,k},求Vλi的一组基
- 对i∈{1,2,…,k},利用Gram-Schmidt正交化求Vλi的一组单位正交基ei,1,…,ei,di
- 由此得到的e1,1,…,e1,d1,…,ek,1,…,ek,dk是V的一组单位正交基,且在该基下A是对角的
例如,设
A=011−110−111−101−1110∈SM4(R)
则可计算χA(t)=(t−1)3(t+3)⟹λ1=1,λ2=−3,由于4=dimVλ1+dimVλ2且dimVλ2至少为1且其最大值为λ2的代数重数也为1,故dimVλ2=1,dimVλ1=3,(事实上,由于A是可对角化的,故λ1的代数重数必然等于其几何重数),考虑到
Vλ1=ker(λ1E−A)=ker1−1−11−111−1−111−11−1−11
只需要考虑方程
x1−x2−x3+x4=0
的解空间即可,直接得出
Vλ1=⟨1100,0011,100−1⟩
再计算Vλ2,因为Vλ1⊥Vλ2且R4=Vλ1⊕Vλ2,所以Vλ2为Vλ1的正交补,由于上述方程已经给出了
(1,−1,−1,1)⋅(x1,x2,x3,x4)=0
故
Vλ2=⟨1−1−11⟩
利用Gram-Schmidt正交化可分别求出Vλ1,Vλ2的单位正交基
ϵ1=21(1,1,0,0)t,ϵ2=21(0,0,1,1)t,ϵ3=21(1,−1,1,−1)t;ϵ4=21(1,−1,−1,1)t
故
P=21210000212121−2121−2121−21−2121
我们得到PtAP=diag(1,1,1,−3)
惯性指数的求法
设A∈SMn(R),则A的正(负)惯性指数等于spec(A)中正(负)根的个数(在记重数的意义下),特别地,A(半)正定当且仅当A的特征根都是正的(非负的)
特别地,设A,B∈SMn(R)且A正定,则存在P∈GLn(R)使得PtAP=E和PtBP是对角阵,这是因为
- 由于A正定,所以存在P1∈GLn(R)使得P1tAP1=E
- 令C=P1tBP1,则C也对称,故存在P2∈On(R)使得D=P2tCP2是对角阵
- 令P=P1P2,则PtBP=P2tCP2=D且
P2∈On(R)⟹PtAP=P2tEP2=P2tP2=E
由此可以证明对于正定矩阵
det(A+B)≥det(A)+det(B)
由于存在P∈GLn(R)使得PtAP=E,PtBP=diag(α1,…,αn),于是
Pt(A+B)P=diag(1+α1,…,1+αn)
两边取行列式有
det(P)2det(A+B)=i=1∏n(1+αi)
而
det(P)2(det(A)+det(B))=det(PtAP)+det(PtBP)=1+i=1∏nαi
因为B正定,所以α1,…,αn∈R+,于是∏(1+αi)≥1+∏αi,故命题得证
斜对称算子和斜对称矩阵
设A∈L(V)斜对称,则存在β1,…,βs∈R\{0},使得A在V的某组单位正交基下的矩阵为
M=N(0,β1)⋱N(0,βs)0⋱0
设A∈SSMn(R),则A正交相似于上述形式的矩阵
实斜对称矩阵和欧式空间上的斜对称算子的特征根或者是纯虚数,或者等于0
设A∈SSMn(R),则det(E+A)≥1,这是因为存在P∈On(R)使得PtAP=M,于是
Pt(E+A)P=E+M=diag(N(1,β1),…,N(1,βs),1,…,1)
因为det(P)=±1和det(N(1,βi))≥1,所以
det(E+A)≥1
这里用到了对角分块矩阵的行列式
正交算子和正交矩阵
设A∈L(V)正交,则存在θ1,…,θs∈(0,π)∪(π,2π)和λ2s+1,…,λn∈{−1,1}使得A在V的某组单位正交基下的矩阵为
M=N(cosθ1,sinθ1)⋱N(cosθs,sinθs)λ2s+1⋱λn
设A∈On(R),则A正交相似于上述形式的矩阵M
正交矩阵和正交算子的(复)特征根的模长都等于1
设P∈On(R)满足det(P)=−1,则det(E+P)=0,这是因为存在正交矩阵Q使得Q−1PQ=M,而det(P)=−1⟹det(M)=−1,于是存在j∈{2s+1,…,n}使得λj=−1,故−1是M的特征根,其必然也是P的特征根,故我们有det(E+P)=0