Elementary Divisors

该节通过初等因子组讨论一般域下的Jordan标准型

重集

重集是元素可以重复出现的集合, 可参考Multisets

设$S=\left\{a,a,b\right\},T=\left\{a,b\right\}$. 它们作为重集不相等. 元素$a$在$S$中的重数等于$2$, 在$T$中等于$1$

可以利用重集表示$24$的素因子为$\left\{2,2,2,3\right\}$

Tip

下文中出现的重数一般指重集概念中的重数

初等因子组

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$

$$V=W_1\oplus \cdots \oplus W_k$$

是$V$的$\mathcal{A}$-不可分子空间直和分解, 设${\mathcal{A}}_i={\mathcal{A}}_{W_i},{\mu }_i={\mu }_{{\mathcal{A}}_i}$, 重集$\left\{{\mu }_1,\dots ,{\mu }_k\right\}$称为$\mathcal{A}$关于上述不可分子空间直和分解的初等因子组, 由不可分子空间的判断准则, 初等因子组中的元素都是$F[t]$中首一的不可约多项式的幂次

例如$\mathcal{E}$是$V$上的恒同算子, ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$是$V$的一组基, 则有

$$V=⟨{\mathbf{e}}_1⟩\oplus \cdots \oplus ⟨{\mathbf{e}}_n⟩$$

且$\mathcal{E}$关于这个直和分解的初等因子组为

$$\underset{n}{\underbrace{\left\{t-1,\dots ,t-1\right\}}}$$

又如$\mathcal{D}$是$\mathbb{R}[x{]}^n$上的导数算子, 则$\mathbb{R}[x{]}^n$是$\mathcal{D}$-不可分的. 于是, $\mathcal{D}$的初等因子组是$\left\{t^n\right\}$

不可分子空间极小多项式的秩

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, $V$是$\mathcal{A}$-循环的. 设${\mu }_{\mathcal{A}}=p^m$, 其中$p\in F[t]\backslash F$, 则

$$\mathrm{rank}(p^k(\mathcal{A}))=\{\begin{array}{ll}(m-k)\mathrm{deg}(p),& 0\le k\le m\\ 0,& k>m\end{array}$$

回忆不可分子空间的性质, 首先它是循环的, 其次$\mathcal{A}$限制在$V$上的算子的极小多项式是$F[t]$中某个不可约多项式的幂次, 不妨设为${\mu }_{\mathcal{A}}=p^m$, 那么我们就可以给出它的所有因子作用在$\mathcal{A}$上后形成的新算子的秩

只有一个不可约因子的情况

如果$\mathcal{A}$的特征多项式（容易得到）只有一个不可约因子$p$, 那么它的极小多项式必然也只有一个因子, 这个时候就可以给出这个因子的某个幂次$p^{\ell }$在直和分解产生的初等因子组中的重数（在集合中出现的次数）. 从Jordan标准型的形式中, 我们知道

• 某个初等因子$p^{\ell }$是对应不可分空间的极小多项式, 它的重数（多项式的重数）, 即$\ell$, 就对应着Jordan块的大小$J_{\ell }(\lambda )$, 这里的$\lambda$满足$p(\lambda )=0$
• 这个初等因子$p^{\ell }$在整个初等因子组中的重数（出现的次数）, 设为$n_{\ell }$, 则为对应Jordan块$J_{\ell }(\lambda )$在Jordan标准型中出现的次数, 也就是$\lambda$对应特征子空间的几何重数

下面给出$n_{\ell }$的计算方式:

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V),{\mu }_{\mathcal{A}}=p^m$. 其中$p\in F[t]\backslash F$不可约, 对任意$\ell \in {\mathbb{Z}}^{+}$, 设$n_{\ell }$是$p^{\ell }$在$V$的某个$\mathcal{A}$-不可分子空间直和分解的初等因子组中$p^{\ell }$的重数. 令$d=\mathrm{deg}(p)$和$r_i=\mathrm{rank}(p^i(\mathcal{A})),i\in \mathbb{N}$, 则

$$n_{\ell }=\frac{1}{d}(r_{\ell -1}+r_{\ell +1}-2r_{\ell })$$

例子

例如有

$$A=\left(\begin{array}{cccc}-3& 1& -6& 5\\ 5& -1& 8& -7\\ -2& 1& -5& 4\\ -5& 2& -11& 9\end{array}\right)\in {\mathrm{M}}_4(\mathbb{C})$$

已知${\chi }_A=t^4$. 则有$p=t$, 那么就有$r_0=\mathrm{rank}(A^0)=4,r_1=\mathrm{rank}(A)=2$ 于是, $0$的几何重数为$n-\mathrm{rank}(A)=4-2=2$, 由此推出$J_A$中有两个关于$0$的Jordan块, 且又由于

$$r_2=\mathrm{rank}(A^2)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& -1\\ -1& 0& -1& 1\\ 1& 0& 1& -1\\ 2& 0& 2& -2\end{array}\right)=1$$

于是

$$n_1=4+1-2\times 2=1$$

由此可直接推出$n_2=0,n_3=1,n_4=0$, 故

$$J_A=\left(\begin{array}{cc}{J}_3(0)& \\ & J_1(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

有多个不可约因子的情况

设$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$, ${\mu }_{\mathcal{A}}$在$F[t]$中的两两互素首一不可约因子是$p_1,\dots ,p_s$, 它们的次数分别是$d_1,\dots ,d_s$. 设$\ell \in {\mathbb{Z}}^{+},i\in \left\{1,2,\dots ,s\right\}$. $N(i,\ell )$是$p_i^{\ell }$在$V$的某个$\mathcal{A}$-不可分子空间直和分解的初等因子组中的重数（出现的次数）, 则

$$N(i,\ell )=\frac{1}{d_i}\left(R(i,\ell -1)+R(i,\ell +1)-2R(i,\ell )\right)$$

其中$R(i,j)=\mathrm{rank}(p_i(\mathcal{A}{)}^j),j\in \mathbb{N}$. 特别地, 任何$\mathcal{A}$-不可分子空间直和分解的初等因子组都相等（称为$\mathcal{A}$的初等因子组）

矩阵相似的判定

有共同的初等因子组

设$A\in {\mathrm{M}}_n(\mathbb{C})$, 在不计Jordan块出现的顺序的前提下, $A$的Jordan标准型由A的初等因子组唯一确定

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$, 则$A{\sim }_{s}B$当且仅当$A$和$B$有共同的初等因子组

相等多项式和秩

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$, 则$A{\sim }_{s}B$当且仅当下述两点同时成立

1. ${\chi }_A={\chi }_B$或${\mu }_A={\mu }_B$
2. 设$p_1,\dots ,p_s$是${\chi }_A$或${\mu }_A$在$F[t]$中两两互素的（首一的）不可约因子, 且

$$\forall i\in \left\{0,1,\dots ,n+1\right\},j\in \left\{1,2,\dots ,s\right\},\mathrm{rank}(p_j(A{)}^i)=\mathrm{rank}(p_j(B{)}^i)$$

任意多项式下秩相等

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$, 则$A{\sim }_{s}B$当且仅当对任意$f\in F[t],\mathrm{rank}(f(A))=\mathrm{rank}(f(B))$