行列式的几何意义

在Euclidean空间 $R^{n}$ 中, 设 $A \in GL_{n} (R)$ 为可逆矩阵, 则 $∣ det (A) ∣$ 表示由 $A$ 的列向量张成的 $2 n$ 面体的体积

行列式的性质

一个矩阵的行列式是它所有特征值的乘积(包括相同的特征值), 这是因为我们知道一个矩阵 $A \in M_{n} (F)$ 的特征多项式是

χ_{A} (t) = det (tE - A) = t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + a_{1} t + a_{0}

令 $t = 0$ 即有 $det (A) = - a_{0}$ , 根据Vieta定理这就是 $χ_{A}$ 的所有根之积, 也就是所有特征值的乘积

上三角矩阵、下三角矩阵和对角矩阵的行列式都是对角线元素之积

det A_{1} A_{2} ⋱ A_{k} = det (A_{1}) det (A_{2}) \dots det (A_{k})

如果 $A$ 可逆, 则有

det (A C B D) = det (A O B D - C A^{- 1} B) = det (A) det (D - C A^{- 1} B)